Differentialgleichung/Höher/Potenzreihenansatz/Textabschnitt
Nicht alle Differentialgleichungen sind explizit lösbar, und selbst wenn es eine explizite Lösung gibt, so ist es häufig schwierig, diese zu finden. Statt der vollen Information einer Lösungskurve begnügt man sich häufig mit der Teilinformation, die in der Taylor-Entwicklung der Kurve (bis zu einem bestimmten Grad) enthalten ist, d.h. man bestimmt gewisse Ableitungen der Kurve zu einem bestimmten Zeit- und Ortspunkt. Diese Information kann man häufig direkt aus der Differentialgleichung ablesen, ohne die Lösungskurve zu bestimmen. Diese Vorgehensweise setzt voraus, dass das Vektorfeld durch „analytische“ (beispielsweise polynomiale) Daten gegeben ist.
Es sei ein Anfangswertproblem
zu einem Vektorfeld
gegeben, wobei die Komponentenfunktionen , , polynomial (oder durch Potenzreihen gegeben) seien. Dann lässt sich ein Potenzreihenansatz für die Lösung durchführen. Das bedeutet, dass man den Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten macht, und diese Koeffizienten (bis zu einem gewünschten Grad) aus den Gleichungen
sukzessive bestimmt. Die Anfangsbedingungen
legen dabei die konstanten Koeffizienten der Potenzreihen fest. In das Differentialgleichungssystem werden die Potenzreihen links und rechts eingesetzt und ausgewertet, wobei die Ableitung links formal zu nehmen ist und rechts die Reihen formal zu addieren und zu multiplizieren sind. Dies ergibt Gleichungen für Potenzreihen in , die durch Koeffizientenvergleich, beginnend mit den Koeffizienten von kleinem Grad, gelöst werden können.
Wir betrachen das Anfangswertproblem
und wollen es mit einem Potenzreihenansatz lösen. Es sei also
die auszuwertende Potenzreihengleichung ist somit
Die Anfangsbedingung legt fest. Für den konstanten Term (also zu ) ergibt sich aus der Potenzreihengleichung
Für ergibt sich
Für ergibt sich
also ist . Für ergibt sich
also ist . Für ergibt sich
also ist . Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung ist demnach
Wir betrachten das Anfangswertproblem
und machen den Potenzreihenansatz und . Aufgrund der Anfangsbedingung ist
Das Differentialgleichungssystem führt auf die beiden Potenreihengleichungen
und
die wir gradweise auswerten. Für den Grad (der Potenzreihengleichungen) ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
Für den Grad ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
also ist und . Für den Grad ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
also ist und . Für den Grad ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
also ist und . Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung ist demnach
Eine Differentialgleichung höherer Ordnung
kann man entsprechend Bemerkung mit einem Potenzreihenansatz, also mit einem Ansatz der Form
mit unbestimmten Koeffizienten , (bis zu einer gewissen Ordnung) lösen. Dazu muss die Funktion polynomial (oder durch eine Potenzreihe gegeben) sein. Damit die Lösung eindeutig ist, müssen zusätzlich Anfangsbedingungen
vorgegeben sein. Die Koeffizienten werden sukzessive unter Verwendung der Differentialgleichung und der Anfangsbedingungen gelöst.
Wir betrachen das Anfangswertproblem
und wollen es mit einem Potenzreihenansatz lösen. Es sei also
die auszuwertende Potenzreihengleichung ist somit
Die Anfangsbedingung legt und fest. Für den konstanten Term (also zu ) ergibt sich aus der Potenzreihengleichung
also ist . Für ergibt sich
also ist . Für ergibt sich
also ist . Für ergibt sich
also ist . Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung ist demnach