Differentialgleichung/Höher/Potenzreihenansatz/Textabschnitt

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Nicht alle Differentialgleichungen sind explizit lösbar, und selbst wenn es eine explizite Lösung gibt, so ist es häufig schwierig, diese zu finden. Statt der vollen Information einer Lösungskurve begnügt man sich häufig mit der Teilinformation, die in der Taylor-Entwicklung der Kurve (bis zu einem bestimmten Grad) enthalten ist, d.h. man bestimmt gewisse Ableitungen der Kurve zu einem bestimmten Zeit- und Ortspunkt. Diese Information kann man häufig direkt aus der Differentialgleichung ablesen, ohne die Lösungskurve zu bestimmen. Diese Vorgehensweise setzt voraus, dass das Vektorfeld durch „analytische“ (beispielsweise polynomiale) Daten gegeben ist.


Verfahren  

Es sei ein Anfangswertproblem

zu einem Vektorfeld

gegeben, wobei die Komponentenfunktionen , , polynomial (oder durch Potenzreihen gegeben) seien. Dann lässt sich ein Potenzreihenansatz für die Lösung durchführen. Das bedeutet, dass man den Ansatz mit unbestimmten Koeffizienten macht, und diese Koeffizienten (bis zu einem gewünschten Grad) aus den Gleichungen

sukzessive bestimmt. Die Anfangsbedingung

legt dabei die konstanten Koeffizienten fest. In das Differentialgleichungssystem werden die Potenzreihen links und rechts eingesetzt und ausgewertet, wobei die Ableitung links formal zu nehmen ist und rechts die Reihen formal zu addieren und zu multiplizieren sind. Dies ergibt Gleichungen für Potenzreihen in , die durch Koeffizientenvergleich, beginnend mit den Koeffizienten von kleinem Grad, gelöst werden können.


Beispiel  

Wir betrachen das Anfangswertproblem

und wollen es mit einem Potenzreihenansatz lösen. Sei also

die auszuwertende Potenzreihengleichung ist somit

Die Anfangsbedingung legt fest. Für den konstanten Term (also zu ) ergibt sich aus der Potenzreihengleichung

Für ergibt sich

Für ergibt sich

also ist . Für ergibt sich

also ist . Für ergibt sich

also ist . Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung ist demnach



Beispiel  

Wir betrachten das Anfangswertproblem

und machen den Potenzreihenansatz und . Aufgrund der Anfangsbedingung ist

Das Differentialgleichungssystem führt auf die beiden Potenreihengleichungen

und

die wir gradweise auswerten. Für den Grad (der Potenzreihengleichungen) ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

Für den Grad ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

also ist und . Für den Grad ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

also ist und . Für den Grad ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

also ist und . Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung ist demnach


Bemerkung  

Eine Differentialgleichung höherer Ordnung

kann man entsprechend Bemerkung mit einem Potenzreihenansatz, also mit einem Ansatz der Form

mit unbestimmten Koeffizienten , (bis zu einer gewissen Ordnung) lösen. Dazu muss die Funktion polynomial (oder durch eine Potenzreihe gegeben) sein. Damit die Lösung eindeutig ist, müssen zusätzlich Anfangsbedingungen

vorgegeben sein. Die Koeffizienten werden sukzessive unter Verwendung der Differentialgleichung und der Anfangsbedingungen gelöst.



Beispiel  

Wir betrachen das Anfangswertproblem

und wollen es mit einem Potenzreihenansatz lösen. Sei also

die auszuwertende Potenzreihengleichung ist somit

Die Anfangsbedingung legt und fest. Für den konstanten Term (also zu ) ergibt sich aus der Potenzreihengleichung

also ist . Für ergibt sich

also ist . Für ergibt sich

also ist . Für ergibt sich

also ist . Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung ist demnach