Differenzierbare Hyperfläche/Lineare Zusammenhänge/Motivation/Textabschnitt

Zu einer differenzierbaren Hyperfläche ${}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist für jeden Punkt ${}P\in Y$ der Tangentialraum ein Untervektorraum ${}T_{P}Y\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und das Standardskalarprodukt des ${}\mathbb {R} ^{n}$ erlaubt über die orthogonale Projektion

$\pi _{P}\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow T_{P}Y,$

Daten im umgebenden Raum auf der Hyperfläche zu interpretieren und dadurch wichtige Konzepte für ${}Y$ einzuführen, wie beispielsweise die tangentiale Beschleunigung, geodätische Kurven, die Krümmung, die kovariante Ableitung eines Vektorfeldes, ein paralleles Vektorfeld und den Paralleltransport. Das Standardskalarprodukt definiert aber auch eine riemannsche Struktur auf ${}Y$, und es erhebt sich die Frage, ob man die eben erwähnten Konzepte auch intrinsisch, nur durch Kenntnis von ${}Y$ und ihrer riemannschen Struktur, definieren kann (beispielsweise für die hyperbolische Fläche). Um diese Frage beantworten zu können, muss man eine neue Technik einführen, die sogenannten Zusammenhänge auf einem Vektorbündel und insbesondere auf dem Tangentialbündel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Im Fall einer riemannschen Mannigfaltigkeit ergibt sich in kanonischer Weise der sogenannte Levi-Civita-Zusammenhang (siehe Fakt), mit dem man die oben erwähnten Konzepte intrinsisch erfassen kann.