Divisible Gruppe/Injektiver Modul/Einführung/Textabschnitt
Definition
Es sei ein kommutativer Ring. Ein -Modul heißt injektiv, wenn es für jeden -Modul , jeden Untermodul und jeden -Modul-Homomorphismus eine Fortsetzung
gibt.
Über einem Körper ist jeder Vektorraum injektiv, da jeder Untervektorraum in einem Vektorraum ein direktes Komplement besitzt, und die lineare Abbildung auf dem Komplement irgendwie fortgesetzt werden kann. Für wird die Sache schon komplizierter.
Definition
Eine kommutative Gruppe heißt divisibel, wenn es zu jedem und jedem ein mit gibt.
Die Gruppe selbst ist nicht divisibel, dagegen ist als kommutative Gruppe divisibel, da ja zu jedem die Multiplikationsabbidung
surjektiv ist (man kann durch dividieren, daher der Name divisibel).
Lemma
Zu einer divisiblen Gruppe
ist auch jede Restklassengruppe divisibel.
Beweis
Sei . Für jedes gibt es mit . Dann gilt auch in .
Lemma
Zu jeder kommutativen Gruppe
gibt es eine divisible Gruppe mit .
Beweis
Wir schreiben mit einer geeigneten Indexmenge , die ein Erzeugendensystem von indiziere. Die freie Gruppe kann man in die divisible Gruppe einbetten. Daher gibt es eine Einbettung
und letztere ist nach Fakt divisibel.
Ohne Beweis erwähnen wir das folgende Resultat.
Lemma
Eine kommutative Gruppe
Lemma
Es sei ein injektiver Modul über einem kommutativen Ring .
Dann spaltet jede kurze exakte Sequenz
von -Moduln.
Beweis
Zur Identität gibt es eine Fortsetzung . Diese vermittelt die Spaltung.
Lemma
Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative -Algebra und ein injektiver -Modul.
Dann ist auch der -Modul injektiv.
Beweis
Es seien -Moduln und
ein -Modulhomomorphismus. Dies bedeutet explizit, dass gilt. Wir betrachten und als -Moduln und wir betrachten den -Modulhomomorphismus
Aufgrund der Injektivität von als -Modul gibt es eine -lineare Fortsetzung dieser Hintereinanderschaltung. Wir behaupten, dass die Abbildung
ein -Modulhomomorphismus ist. Zunächst ist klar, dass die Abbildung
zu gehört. Die Gesamtzuordnung ist -linear aufgrund der -Modulstruktur von . Für gilt , so dass in der Tat eine Fortsetzung gegeben ist.