Divisible Gruppe/Injektiver Modul/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Es sei ein kommutativer Ring. Ein -Modul heißt injektiv, wenn es für jeden -Modul , jeden Untermodul und jeden -Modul-Homomorphismus eine Fortsetzung

gibt.

Über einem Körper ist jeder Vektorraum injektiv, da jeder Untervektorraum in einem Vektorraum ein direktes Komplement besitzt, und die lineare Abbildung auf dem Komplement irgendwie fortgesetzt werden kann. Für wird die Sache schon komplizierter.


Definition  

Eine kommutative Gruppe heißt divisibel, wenn es zu jedem und jedem ein mit gibt.

Die Gruppe selbst ist nicht divisibel, dagegen ist als kommutative Gruppe divisibel, da ja zu jedem die Multiplikationsabbidung

surjektiv ist (man kann durch dividieren, daher der Name divisibel).



Lemma  

Zu einer divisiblen Gruppe

ist auch jede Restklassengruppe divisibel.

Beweis  

Sei . Für jedes gibt es mit . Dann gilt auch in .




Lemma  

Zu jeder kommutativen Gruppe

gibt es eine divisible Gruppe mit .

Beweis  

Wir schreiben mit einer geeigneten Indexmenge , die ein Erzeugendensystem von indiziere. Die freie Gruppe kann man in die divisible Gruppe einbetten. Daher gibt es eine Einbettung

und letztere ist nach Fakt divisibel.


Ohne Beweis erwähnen wir das folgende Resultat.


Lemma

Eine kommutative Gruppe

ist genau dann divisibel, wenn sie injektiv ist.



Lemma  

Es sei ein injektiver Modul über einem kommutativen Ring .

Dann spaltet jede kurze exakte Sequenz

von -Moduln.

Beweis  

Zur Identität gibt es eine Fortsetzung . Diese vermittelt die Spaltung.




Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative -Algebra und ein injektiver -Modul.

Dann ist auch der -Modul injektiv.

Beweis  

Es seien -Moduln und

ein -Modulhomomorphismus. Dies bedeutet explizit, dass gilt. Wir betrachten und als -Moduln und wir betrachten den -Modulhomomorphismus

Aufgrund der Injektivität von als -Modul gibt es eine -lineare Fortsetzung dieser Hintereinanderschaltung. Wir behaupten, dass die Abbildung

ein -Modulhomomorphismus ist. Zunächst ist klar, dass die Abbildung

zu gehört. Die Gesamtzuordnung ist -linear aufgrund der -Modulstruktur von . Für gilt , so dass in der Tat eine Fortsetzung gegeben ist.