Lösung
- Ein euklidischer Bereich ist ein
Integritätsbereich
, für den eine Abbildung
existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt:
Für Elemente
mit
gibt es
mit
-
- Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge
, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- Für alle
ist auch
.
- Für alle
und
ist auch
.
- Für eine ungerade Primzahl
und eine zu
teilerfremde Zahl
definiert man das Legendre-Symbol durch
-
![{\displaystyle \left({\frac {k}{p}}\right):={\begin{cases}1,{\text{ falls }}k{\text{ quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}},\\-1,{\text{ falls }}k{\text{ kein quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}}.\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05b2bda226ce5c68c6a8ff1b7953791606a88d17)
- Die Riemannsche
-Funktion ist für
mit Realteil
durch
-
![{\displaystyle {}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc74621335660a990cd90652782d3308cc8dfdce)
definiert.
- Eine
Primzahl
der Form
heißt Mersennesche Primzahl.
- Eine Sophie-Germain-Primzahl ist eine
Primzahl
mit der Eigenschaft, dass auch
eine Primzahl ist.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der
Chinesische Restsatz
für
.
- Das
quadratische Reziprozitätsgesetz
für ungerade Primzahlen.
- Der
Primzahlsatz.
Lösung
- Es sei
eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung
. Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen
einen Ringisomorphismus
-
![{\displaystyle {}\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9912ec9a915c06829ab9dc1075b0318a50b85c01)
- Es seien
und
zwei verschiedene ungerade
Primzahlen.
Dann gilt:
-
![{\displaystyle {}\left({\frac {p}{q}}\right)\cdot \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}={\begin{cases}-1\,,{\text{ wenn }}p=q=3\mod 4\,,\\1\,,{\text{ sonst}}\,.\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9efc03db07e1013752b2391c71b7d450bc9f9ca8)
- Es gilt die asymptotische Abschätzung
-
![{\displaystyle {}\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23ae1471fa3f5ab3c029d5cce708e97879660022)
Das heißt
-
![{\displaystyle {}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\ln(x)}{x}}=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665a3a4ba58942ac752ab3c1561ed0d9913d0c7e)
Bestätige die folgende Identität.
-
![{\displaystyle {}3^{5}+11^{4}=122^{2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f85dc214753cee515ac009d1f472b6c411ef09e8)
Lösung
Es ist
-
![{\displaystyle {}3^{5}=243\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/148c681f2a126ae2ec98b59f4ca77d04c83b3da5)
und
-
![{\displaystyle {}11^{4}=121^{2}=14641\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a414041ec251ce5cdb196857d2dac6f00c63b373)
Somit ist
-
![{\displaystyle {}3^{5}+11^{4}=243+14641=14884\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dfbeba46c9586aaab3747a147b48dfdb5291aa3)
Andererseits ist auch
-
![{\displaystyle {}122^{2}=14884\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f4579f5e9e6e7202a38f5f152f2a9d93eb02ad)
Lösung /Aufgabe/Lösung
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