Elementare und algebraische Zahlentheorie/16/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein euklidischer Bereich .
  2. Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
  3. Das Legendre-Symbol.
  4. Die Riemannsche Zetafunktion.
  5. Eine Mersennesche Primzahl.
  6. Eine Sophie-Germain-Primzahl.


Lösung

  1. Ein euklidischer Bereich ist ein Integritätsbereich , für den eine Abbildung existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt: Für Elemente mit gibt es mit
  2. Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge , für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
    1. Für alle ist auch .
    2. Für alle und ist auch .
  3. Für eine ungerade Primzahl und eine zu teilerfremde Zahl definiert man das Legendre-Symbol durch
  4. Die Riemannsche -Funktion ist für mit Realteil durch

    definiert.

  5. Eine Primzahl der Form heißt Mersennesche Primzahl.
  6. Eine Sophie-Germain-Primzahl ist eine Primzahl mit der Eigenschaft, dass auch eine Primzahl ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Chinesische Restsatz für .
  2. Das quadratische Reziprozitätsgesetz für ungerade Primzahlen.
  3. Der Primzahlsatz.


Lösung

  1. Sei eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung . Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen einen Ringisomorphismus
  2. Seien und zwei verschiedene ungerade Primzahlen. Dann gilt:
  3. Es gilt die asymptotische Abschätzung

    Das heißt


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


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