Elliptische Integrale/Bogenlängen/Einführung/Textabschnitt

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Beispiel  

Wir betrachten die Funktion

die die obere Kreislinie des Einheitskreises beschreibt. Wir wollen die Länge dieses Graphen bestimmen. Es ist

wobei diese Gleichheit nur im Innern Sinn ergibt, in den Randpunkten ist die Funktion nicht differenzierbar. Dennoch kann man hier Fakt zunächst im Innern anwenden und anschließend einen Grenzübergang durchführen. Es geht somit um das Integral von

Die Stammfunktion davon ist . Daher ist



Beispiel  

Wir betrachten eine Ellipse der Form

mit . Eine Umstellung liefert

Der obere Bogen der Ellipse wird somit als Funktion in durch

beschrieben. Die Ableitung dieser Funktion ist

Die Bogenlänge des Graphen von von nach wird gemäß Fakt als Integral (von nach ) zur Funktion

mit berechnet. Mit der linearen Transformation kann man diesen Integranden auf die Form

bringen (das Integral ist dann mit dem Faktor zu multiplizieren).


Zu kann man keine Stammfunktion mit den sogenannten elementaren Funktionen wie rationale Funktionen oder trigonometrische Funktionen angeben. Die Stammfunktionen existieren, da diese Integranden stetig sind, es gibt aber keine bessere Beschreibung denn als Integral. Wir führen einen eigenen Namen für sie ein.


Definition  

Zu nennt man die Funktion (in )

das elliptische Normalintegral zweiter Gattung

Es sei

eine rationale Funktion in den beiden Variablen. Wenn

mit einem quadratischen Polynom in der einen Variablen ist, so lässt sich eine Stammfunktion zu angeben, siehe Fakt. Dies geht nicht, wenn ein Polynom von höherem Grad ist. Wenn den Grad oder hat, so gibt es zwar keine expliziten Stammfunktionen, aber dennoch eine reiche Theorie über diese Integrale. Beim obigen Integranden kann man wegen

direkt in dieser Form mit

und

schreiben.


Definition  

Zu zwei Punkten nennt man die durch

gegebene Teilmenge eine Lemniskate.

Die Lemniskate von Bernoulli

Wenn man die beiden Punkte auf die -Achse symmetrisch zum Ursprung platziert, sagen wir und , so erhält man durch Quadrieren die Bedingung

bzw.

und somit

Die einfachste Form ergibt sich für .


Beispiel  

Wir betrachten die Lemniskate von Bernoulli, die durch die Gleichung

gegeben ist. Wenn man die Punkte in Polarkoordinaten als

ansetzt, so ergibt sich die Bedingung

bzw.

unter Verwendung des Additionstheorems für den Kosinus. Wegen

und

kann man lokal (auf Stücken, wo man Quadratwurzeln festlegt; der Durchschnitt der Lemniskate mit einem Kreis um den Ursprung mit Radius besitzt ja vier Schnittpunkte) die Kurve durch parametrisieren. Die Bogenlänge der Lemniskate von bis in der Parametrisierung

ist nach Fakt gleich





Auf der durch definierten Kurve in oder in ist (mit einer rationalen Funktion ) eine Differentialform (eventuell mit Polen). Dies gilt auch auf der ganzen Ebene, wobei dann die Pole nicht einzelne Punkte, sondern selbst Kurven sind. Zu einem differenzierbaren Weg

der die Polstellen vermeidet, kann man das Wegintegral

berechnen. Dieses ist gleich

wobei die zurückgezogene Differentialform bezeichnet. Diese zurückgezogene Form ist gleich

Bei

und

ist dies

Den Integranden kann man wiederum als schreiben.



Beispiel  

Wir betrachten auf dem Einheitskreis

die Differentialform

Unter der Parametrisierung des oberen Kreisbogens durch

ist die zurückgezogene Differentialform gleich

Dies ist bis auf das Vorzeichen der Integrand zur Berechnung der Kurvenlänge des Graphen der Funktion , und dieser Integrand besitzt Arkussinus als Stammfunktion.

Zum Kreis gehört seine universelle Überlagerung

Auch bezüglich dieser Parametrisierung kann man die Differentialform zurückziehen und erhält

also die konstante Differentialform auf . Dies ist nicht überraschend, da ja die trigonometrische Parametrisierung den Einheitskreis mit konstanter Geschwindigkeit durchläuft und somit der zurückgelegte Weg proportional zur verstrichenen Zeit ist.