Endomorphismus/Geometrische Vielfachheit/Textabschnitt

Die Einschränkung einer linearen Abbildung auf einen Eigenraum ist die Streckung um den zugehörigen Eigenwert, also eine besonders einfache lineare Abbildung. Bezüglich einer Diagonalmatrix

${\begin{pmatrix}d_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}$

besitzt die Standardbasis die Eigenschaft, dass jeder Basisvektor ein Eigenvektor zu der durch die Matrix gegebenen Abbildung ist. Bei einer Diagonalmatrix kann man sofort die Eigenräume angeben, siehe Beispiel, und zwar besteht der Eigenraum zu ${}d$ aus allen Linearkombinationen der Standardvektoren ${}e_{i}$, für die ${}d_{i}$ gleich ${}d$ ist. Insbesondere ist die Dimension des Eigenraums gleich der Anzahl, wie oft ${}d$ als Diagonalelement auftritt. Generell sind die Dimensionen der Eigenräume wichtige Invarianten zu einem Endomorphismus.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zu ${}\lambda \in K$ nennt man

$\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}$

die geometrische Vielfachheit von ${}\lambda$.

Ein ${}\lambda \in K$ ist insbesondere genau dann ein Eigenwert von ${}\varphi$, wenn seine geometrische Vielfachheit mindestens ${}1$ ist. Es ist einfach, Beispiele anzugeben, wo die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes jeden Wert zwischen ${}1$ und der Dimension des Raumes annimmt.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung.

Dann ist die Summe der Eigenräume ${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}$ direkt und es ist

${}\sum _{\lambda \in K}\dim _{K}{\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)}\leq \dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

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