Exponentialfunktion/Übergang von Z nach Q/Einführung/Textabschnitt

Zu einer positiven Zahl ${}b\in K$ aus einem angeordneten Körper ${}K$ haben wir die ganzzahlige Exponentialfunktion ${}\mathbb {Z} \longrightarrow K$, ${}n\longmapsto b^{n}$, zur Basis ${}b$ besprochen, die einer ganzen Zahl ${}n$ den Wert ${}b^{n}$ zuordnet. Die entscheidende Gesetzmäßigkeit ist dabei (vergleiche Fakt  (4))

${}b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}\,.$

Für den Fall ${}K=\mathbb {R}$ kann man den Definitionsbereich wesentlich erweitern, und zwar in zwei Schritten. Wir besprechen zunächst die Ausdehnung von ${}\mathbb {Z}$ auf ${}\mathbb {Q}$ und anschließend die Ausdehnung von ${}\mathbb {Q}$ auf ${}\mathbb {R}$. Ausgangspunkt ist die Bezeichnungsweise ${}b^{1/2}$ für ${}{\sqrt {b}}$, die auf den ersten Blick willkürlich erscheinen mag, die sich aber durch die Beziehung

${}b^{\frac {1}{2}}\cdot b^{\frac {1}{2}}={\sqrt {b}}\cdot {\sqrt {b}}=b=b^{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}}\,$

überzeugend rechtfertigen lässt.

Definition

Zu ${}b\in \mathbb {R} _{+}$ und ${}q\in \mathbb {Q}$ mit ${}q={\frac {r}{s}}$ (${}s>0$) setzt man

${}b^{q}=b^{\frac {r}{s}}:={\sqrt[{s}]{b^{r}}}\,.$

Insbesondere setzt man

${}b^{\frac {1}{s}}={\sqrt[{s}]{b}}\,.$

Bei ${}s=1$ stimmt diese Schreibweise mit den früher gemachten Festlegungen überein. Die Existenz und Eindeutigkeit der Zahlen ${}{\sqrt[{s}]{b^{r}}}$ (wenn also Zähler und Nenner fixiert sind) ist durch Fakt gesichert (insbesondere sind dies stets positive Zahlen). Auf dieser Eindeutigkeit beruht auch das Potenzprinzip, das wir in der 48. Vorlesung erwähnt haben: Zwei positive reelle Zahlen stimmen bereits dann überein, wenn eine gewisse gleichnamige Potenz von ihnen übereinstimmt. Eine weitere Anwendung dieses Prinzips ist die Wohldefiniertheit der Definition von ${}b^{q}$. Man muss sich nämlich noch klar machen, dass bei verschiedenen Bruchdarstellungen

${}q={\frac {r}{s}}={\frac {t}{u}}\,$

das gleiche herauskommt. Dies ergibt sich aus

${}{\sqrt[{s}]{b^{r}}}={\sqrt[{su}]{b^{ru}}}={\sqrt[{su}]{b^{st}}}={\sqrt[{u}]{b^{t}}}\,.$

Dabei gilt die erste Gleichung, da die ${}su$-te Potenz (nach Fakt  (2)) auch links ${}b^{ru}$ ergibt (entsprechend für die rechte Gleichung).

Statt mit ${}{\sqrt[{s}]{b^{r}}}$ kann man genauso gut mit ${}{\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{r}$ arbeiten. Die ${}s$-te Potenz von ${}{\sqrt[{s}]{b^{r}}}$ ist natürlich ${}b^{r}$. Es ist aber nach Fakt  (4) auch

${}{\left({\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{r}\right)}^{s}={\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{r\cdot s}={\left({\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{s}\right)}^{r}=b^{r}\,.$

Lemma

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Dann besitzt die Funktion

$f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,q\longmapsto b^{q},$

folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}b^{q+q'}=b^{q}\cdot b^{q'}$ für alle ${}q,q'\in \mathbb {Q}$.
2. Es ist ${}b^{-q}={\frac {1}{b^{q}}}$.
3. Für ${}b>1$ und ${}q>0$ ist ${}b^{q}>1$.
4. Für ${}b<1$ und ${}q>0$ ist ${}b^{q}<1$.
5. Für ${}b>1$ ist ${}f$ streng wachsend.
6. Für ${}b<1$ ist ${}f$ streng fallend.
7. Es ist ${}(b^{q})^{q'}=b^{q\cdot q'}$ für alle ${}q,q'\in \mathbb {Q}$.
8. Für ${}a\in \mathbb {R} _{+}$ ist ${}(ab)^{q}=a^{q}\cdot b^{q}$.

Beweis

1. Wir können annehmen, dass die Exponenten mit einem gemeinsamen Nenner vorliegen, also ${}q={\frac {r}{s}}$ und ${}q'={\frac {t}{s}}$. Dann ist unter Verwendung von Fakt  (4) (angewendet für die Basis ${}{\sqrt[{s}]{b}}$ und die ganzzahligen Exponenten ${}r$ und ${}t$)

   ${}{\begin{aligned}b^{q}\cdot b^{q'}&=b^{\frac {r}{s}}\cdot b^{\frac {t}{s}}\\&={\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{r}{\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{t}\\&={\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{r+t}\\&=b^{\frac {r+t}{s}}\\&=b^{q+q'}.\end{aligned}}$

2. Sei ${}q={\frac {r}{s}}$. Dann ist unter Verwendung von Fakt  (5)

   ${}b^{-q}=b^{-{\frac {r}{s}}}={\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{-r}={\frac {1}{{\left({\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{r}}}={\frac {1}{b^{\frac {r}{s}}}}={\frac {1}{b^{q}}}\,.$

3. Sei

   ${}q={\frac {r}{s}}>0\,,$

   also ${}r,s\geq 1$. Mit ${}b>1$ ist nach Fakt  (8) auch ${}b^{r}>1$ und davon ist auch die ${}s$-te Wurzel ${}>1$.

4. Wird ähnlich wie (3) begründet.
5. Dies folgt aus (1) und (3). Es sei nämlich ${}q'>q$. Dann ist

   ${}q'=q+u\,$

   mit ${}u>0$. Dann ist

   ${}b^{q'}=b^{q+u}=b^{q}b^{u}>b^{q}\,.$

6. Wird ähnlich wie (5) begründet.
7. Sei ${}q={\frac {r}{s}}$ und ${}q'={\frac {t}{u}}$. Dann ist unter Verwendung von Fakt  (4) und Fakt  (1)

   ${}{\begin{aligned}{\left(b^{q}\right)}^{q'}&={\left(b^{\frac {r}{s}}\right)}^{\frac {t}{u}}\\&={\left({\sqrt[{s}]{b}}^{r}\right)}^{\frac {t}{u}}\\&={\sqrt[{u}]{{\left({\sqrt[{s}]{b}}^{r}\right)}^{t}}}\\&={\sqrt[{u}]{{\sqrt[{s}]{b}}^{rt}}}\\&={\sqrt[{u}]{\sqrt[{s}]{b^{rt}}}}\\&={\sqrt[{us}]{b^{rt}}}\\&=b^{\frac {rt}{us}}\\&=b^{qq'}.\end{aligned}}$

8. Mit

   ${}q={\frac {r}{s}}\,$

   ist unter Verwendung von Fakt  (2) und Fakt  (5)

   ${}{\begin{aligned}(ab)^{q}&=(ab)^{\frac {r}{s}}\\&={\left({\sqrt[{s}]{ab}}\right)}^{r}\\&={\left({\sqrt[{s}]{a}}{\sqrt[{s}]{b}}\right)}^{r}\\&={\sqrt[{s}]{a}}^{r}{\sqrt[{s}]{b}}^{r}\\&=a^{q}b^{q}.\end{aligned}}$

$\Box$

Diese Eigenschaften sind für ganzzahlige Argumente aus Fakt und aus Fakt vertraut. Die erste Eigenschaft nennt man auch die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion. Sie bedeutet, dass zu jedem ${}b\in \mathbb {R} _{+}$ ein Gruppenhomomorphismus

$(\mathbb {Q} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1),\,q\longmapsto b^{q},$

vorliegt. Für ${}b\neq 1$ sind diese nach Fakt  (6) bzw. Fakt  (7) und Fakt injektiv.