Geometrische Reihe/Quotientenkriterium/C/Textabschnitt

Dieses Bild veranschaulicht das Verhalten der geometrischen Reihe zu ${}x={\frac {1}{4}}$. Die Grundseite des Quadrates sei ${}2$, dann passt die geometrische Reihe dreimal in dieses Quadrat rein. Der jeweilige Flächeninhalt der drei Reihen ist ${}{\frac {4}{3}}$.

Die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ heißt geometrische Reihe zu ${}z\in {\mathbb {C} }$, es geht also um die Summe

$1+z+z^{2}+z^{3}+\ldots .$

Die Konvergenz hängt wesentlich vom Betrag von ${}z$ ab.

Satz

Für alle komplexen Zahlen ${}z$ mit ${}\vert {z}\vert <1$ konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}$ absolut und es gilt

${}\sum _{k=0}^{\infty }z^{k}={\frac {1}{1-z}}\,.$

Beweis

Für jedes ${}z$ gilt die Beziehung

${}(z-1){\left(\sum _{k=0}^{n}z^{k}\right)}=z^{n+1}-1\,$

und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei ${}z\neq 1$)

${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}z^{k}={\frac {z^{n+1}-1}{z-1}}\,.$

Für ${}n\rightarrow \infty$ und ${}\vert {z}\vert <1$ konvergiert dies wegen Aufgabe und Fakt gegen ${}{\frac {-1}{z-1}}={\frac {1}{1-z}}$.

$\Box$

Die folgende Aussage heißt Quotientenkriterium.

Satz

Es sei

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$

eine Reihe von komplexen Zahlen. Es gebe eine reelle Zahl ${}q$ mit ${}0\leq q<1$ und ein ${}k_{0}$ mit

${}\vert {\frac {a_{k+1}}{a_{k}}}\vert \leq q\,$

für alle ${}k\geq k_{0}$ (Insbesondere sei ${}a_{k}\neq 0$ für ${}k\geq k_{0}$).

Dann konvergiert die Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$ absolut.

Beweis

Die Konvergenz ändert sich nicht, wenn man endlich viele Glieder ändert. Daher können wir ${}k_{0}=0$ annehmen. Ferner können wir annehmen, dass alle ${}a_{k}$ nichtnegative reelle Zahlen sind. Es ist

${}a_{k}={\frac {a_{k}}{a_{k-1}}}\cdot {\frac {a_{k-1}}{a_{k-2}}}{\cdots }{\frac {a_{1}}{a_{0}}}\cdot a_{0}\leq a_{0}q^{k}\,.$

Somit folgt die Konvergenz aus dem Majorantenkriterium und der Konvergenz der geometrischen Reihe.

$\Box$

Beispiel

Unter den Kochschen Schneeflocken versteht man die Folge ${}K_{n}$ der folgendermaßen rekursiv definierten ebenen Figuren: Die Ausgangsfigur ${}K_{0}$ ist ein gleichseitiges Dreieck. Die Figur ${}K_{n+1}$ entsteht aus ${}K_{n}$, indem man in jeder Begrenzungskante von ${}K_{n}$ das mittlere Drittel durch die beiden Schenkel eines darauf aufgesetzten nach außen gerichteten gleichmäßigen Dreiecks ersetzt.

Es sei ${}A_{n}$ der Flächeninhalt und ${}L_{n}$ die Länge des Randes der ${}n$-ten Kochschen Schneeflocke. Wir wollen zeigen, dass die Folge ${}A_{n}$ konvergiert und die Folge ${}L_{n}$ bestimmt gegen ${}\infty$ divergiert.

Die Anzahl der Kanten von ${}K_{n}$ ist ${}3\cdot 4^{n}$, da bei jedem Unterteilungsschritt eine Kante durch vier Kanten ersetzt wird, deren Länge ${}1/3$ der Länge der Vorgängerkante ist. Es sei ${}r$ die Seitenlänge des gleichseitigen Ausgangsdreiecks. Dann besteht ${}K_{n}$ aus ${}3\cdot 4^{n}$ Kanten der Länge ${}r{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{n}$ und die Gesamtlänge der Kanten von ${}K_{n}$ ist gleich

${}L_{n}=3\cdot 4^{n}r{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{n}=3r{\left({\frac {4}{3}}\right)}^{n}\,.$

Wegen ${}{\frac {4}{3}}>1$ divergiert dies gegen ${}\infty$.

Beim Übergang von ${}K_{n}$ nach ${}K_{n+1}$ kommt für jede Kante ein neues Dreieck mit gedrittelter Seitenlänge hinzu. Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge ${}s$ ist ${}{\frac {\sqrt {3}}{4}}s^{2}$ (Grundseite mal Höhe durch ${}2$). Im Schritt von ${}K_{n}$ nach ${}K_{n+1}$ kommen somit ${}3\cdot 4^{n}$ Dreiecke mit dem Flächeninhalt ${}{\frac {\sqrt {3}}{4}}{\left({\frac {1}{3}}\right)}^{2(n+1)}r^{2}={\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}{\left({\frac {1}{9}}\right)}^{n+1}$ hinzu. Daher ist der Gesamtflächeninhalt von ${}K_{n}$ gleich

${}{\begin{aligned}&\,{\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}\left(1+3{\frac {1}{9}}+12\left({\frac {1}{9}}\right)^{2}+48\left({\frac {1}{9}}\right)^{3}+\cdots +3\cdot 4^{n-1}\left({\frac {1}{9}}\right)^{n}\right)\\&={\frac {\sqrt {3}}{4}}r^{2}\left(1+{\frac {3}{4}}\left({\frac {4}{9}}\right)^{1}+{\frac {3}{4}}\left({\frac {4}{9}}\right)^{2}+{\frac {3}{4}}\left({\frac {4}{9}}\right)^{3}+\cdots +{\frac {3}{4}}\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right).\end{aligned}}$

Wenn wir hinten die erste ${}1$ und den Faktor ${}{\frac {3}{4}}$ ignorieren, was die Konvergenzeigenschaft nicht ändert, so steht in der Klammer die Partialsumme einer geometrischen Reihe zu ${}{\frac {4}{9}}$, welche konvergiert.