Gewöhnliche Differentialgleichungen/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Dann nennt man

die gewöhnliche Differentialgleichung (oder gewöhnliches Differentialgleichungssystem) zum Vektorfeld .

(Zeitabhängige) Vektorfelder und gewöhnliche Differentialgleichungssysteme sind im Wesentlichen äquivalente Objekte. Man spricht auch von einem dynamischen System. Von Differentialgleichungen spricht man insbesondere dann, wenn man sich für die Lösungen im Sinne der folgenden Definition interessiert.


Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Zur gewöhnlichen Differentialgleichung

heißt eine Abbildung

auf einem offenen (Teil)Intervall eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Es ist für alle .
  2. Die Abbildung ist differenzierbar.
  3. Es ist für alle .

Eine Lösung ist also eine differenzierbare Kurve, d.h. eine (orts-)vektorwertige Abbildung

Wenn ist, so wird eine solche Abbildung durch ihre Komponenten

beschrieben. Ebenso wird das Vektorfeld durch , von und abhängige Funktionen beschrieben. Die Differentialgleichung lautet dann ausgeschrieben

Daher spricht man auch von einem Differentialgleichungssystem.

Häufig soll eine Kurve nicht nur eine Differentialgleichung erfüllen, sondern sich zusätzlich zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort befinden. Dies führt zum Begriff des Anfangswertproblems.


Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Es sei gegeben. Dann nennt man

das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung .


Definition  

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, ein reelles Intervall, eine offene Menge und

ein Vektorfeld auf . Es sei vorgegeben. Dann nennt man eine Abbildung

auf einem Intervall mit eine Lösung des Anfangswertproblems

wenn eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich

gilt.