Gewöhnliche Differentialgleichungen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein reelles Intervall,  ${}U\subseteq V$  eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Dann nennt man

${}v'=f(t,v)\,$

die gewöhnliche Differentialgleichung (oder gewöhnliches Differentialgleichungssystem) zum Vektorfeld ${}f$.

(Zeitabhängige) Vektorfelder und gewöhnliche Differentialgleichungssysteme sind im Wesentlichen äquivalente Objekte. Man spricht auch von einem dynamischen System. Von Differentialgleichungen spricht man insbesondere dann, wenn man sich für die Lösungen im Sinne der folgenden Definition interessiert.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein reelles Intervall,  ${}U\subseteq V$  eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung

${}v'=f(t,v)\,$

heißt eine Abbildung

$v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$

auf einem offenen (Teil)Intervall  ${}J\subseteq I$  eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Es ist  ${}v(t)\in U$  für alle  ${}t\in J$. 
2. Die Abbildung ${}v$ ist differenzierbar.
3. Es ist  ${}v'(t)=f(t,v(t))$  für alle  ${}t\in J$. 

Eine Lösung ist also eine differenzierbare Kurve, d.h. eine (orts-)vektorwertige Abbildung

$v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t).$

Wenn  ${}V=\mathbb {R} ^{n}$  ist, so wird eine solche Abbildung durch ihre Komponenten

$(v_{1}(t),\ldots ,v_{n}(t))$

beschrieben. Ebenso wird das Vektorfeld durch ${}n$, von ${}t$ und ${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ abhängige Funktionen ${}(f_{1},\ldots ,f_{n})$ beschrieben. Die Differentialgleichung lautet dann ausgeschrieben

${}{\begin{pmatrix}v_{1}'\\\vdots \\v_{n}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}(t,v_{1},\ldots ,v_{n})\\\vdots \\f_{n}(t,v_{1},\ldots ,v_{n})\end{pmatrix}}\,.$

Daher spricht man auch von einem Differentialgleichungssystem.

Häufig soll eine Kurve nicht nur eine Differentialgleichung erfüllen, sondern sich zusätzlich zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort befinden. Dies führt zum Begriff des Anfangswertproblems.

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein reelles Intervall,  ${}U\subseteq V$  eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei  ${}(t_{0},w)\in I\times U$  gegeben. Dann nennt man

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w$

das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung  ${}v'=f(t,v)$  mit der Anfangsbedingung  ${}v(t_{0})=w$. 

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  ${}I\subseteq \mathbb {R}$  ein reelles Intervall,  ${}U\subseteq V$  eine offene Menge und

$f\colon I\times U\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto f(t,v),$

ein Vektorfeld auf ${}U$. Es sei  ${}(t_{0},w)\in I\times U$  vorgegeben. Dann nennt man eine Abbildung

$v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$

auf einem Intervall  ${}J\subseteq I$  mit  ${}t_{0}\in J$  eine Lösung des Anfangswertproblems

$v'=f(t,v){\text{ und }}v(t_{0})=w,$

wenn ${}v$ eine Lösung der Differentialgleichung  ${}v'=f(t,v)$  ist und wenn zusätzlich

${}v(t_{0})=w\,$

gilt.