Gitter/Komplexe Zahlen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängige Vektoren im ${}\mathbb {R} ^{n}$. Dann heißt die Untergruppe ${}\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}$ ein Gitter im ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Manchmal spricht man auch von einem vollständigen Gitter, da die Erzeuger eine Basis des Raumes bilden. Als Gruppen sind sie isomorph zu ${}\mathbb {Z} ^{n}$, hier interessieren aber auch Eigenschafen der Einbettung in ${}\mathbb {R} ^{n}$. Ein Gitter heißt rational, wenn die erzeugenden Vektoren zu ${}\mathbb {Q} ^{n}$ gehören.

Satz

Zu einem Gitter ${}\Gamma =\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

ist die topologische Restklassengruppe ${}\mathbb {R} ^{n}/\Gamma$ isomorph zum ${}n$-dimensionalen Torus ${}S^{1}\times \cdots \times S^{1}$ (mit ${}n$ Faktoren).

Beweis

Nach Aufgabe können wir davon ausgehen, dass ${}\Gamma$ das Standardgitter ${}\mathbb {Z} e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} e_{n}$ ist. Für dieses gilt

${}\mathbb {R} ^{n}/{\left(\mathbb {Z} e_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} e_{n}\right)}={\left(\mathbb {R} /\mathbb {Z} e_{1}\right)}\times \cdots \times {\left(\mathbb {R} /\mathbb {Z} e_{n}\right)}=S^{1}\times \cdots \times S^{1}\,.$

$\Box$

Topologisch und gruppentheoretisch sind alle vollständigen Gitter zueinander äquivalent. Ein Gitter ist durch seine Basis festgelegt, aber nicht umgekehrt. Man kann aber einfach charakterisieren, ob zwei Basiselemente das gleiche Gitter erzeugen.

Lemma

Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ Basen im ${}\mathbb {R} ^{n}$.

Dann stimmen die zugehörigen Gitter ${}\Gamma =\mathbb {Z} v_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} v_{n}$ und ${}\Delta =\mathbb {Z} w_{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} w_{n}$ genau dann überein, wenn ihre Übergangsmatrix ganzzahlig mit Determinante ${}\pm 1$ ist.

Beweis

Es seien ${}M$ und ${}N$ die (reellen) Übergangsmatrizen zwischen den beiden Basen, dabei gilt

${}M\circ N=E_{n}\,$

und

${}\det M\cdot \det N=1\,$

nach dem Determinantenmultiplikationsatz. Es seien die Gitter gleich. Dann folgt aus ${}v_{j}\in \Delta$, dass in

${}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,$

die Koeffizienten ${}c_{ij}$ ganzzahlig sind und damit sind die Übergangsmatrizen ganzzahlig. Ihre Determinanten sind somit auch ganzzahlig und aus der Determinantenbedingung folgt, dass die Determinanten ${}1$ oder ${}-1$ sein müssen, da dies die einzigen Einheiten in ${}\mathbb {Z}$ sind.

Wenn beide Übergangsmatrizen ganzzahlig sind, so gilt

${}\Gamma \subseteq \Delta \subseteq \Gamma \,$

und damit Gleichheit.

$\Box$

Im Folgenden beschränken wir uns auf den folgenden Spezialfall.

Definition

Unter einem Gitter in den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ versteht man ein vollständiges Gitter ${}\Gamma =\mathbb {Z} v_{1}\oplus \mathbb {Z} v_{2}\subset {\mathbb {C} }$.

Korollar

Zwei reell linear unabhängige Paare ${}(u_{1},u_{2})$ und ${}(v_{1},v_{2})$ vom komplexen Zahlen

definieren genau dann das gleiche Gitter, wenn es eine invertierbare Matrix

${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatorname {GL} _{2}\!{\left(\mathbb {Z} \right)}\,$

mit

${}{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\,$

gibt.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

$\Box$

Beispielsweise stimmen die durch ${}1,{\mathrm {i} }$ bzw. ${}1,2+{\mathrm {i} }$ erzeugten Gitter überein, es besteht die Beziehung

${}{\begin{pmatrix}1\\2+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

bzw. umgekehrt

${}{\begin{pmatrix}1\\{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,.$