Gitter/Komplexe Zahlen/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Lattice in R2.svg


Definition  

Es seien linear unabhängige Vektoren im . Dann heißt die Untergruppe ein Gitter im .

Manchmal spricht man auch von einem vollständigen Gitter, da die Erzeuger eine Basis des Raumes bilden. Als Gruppen sind sie isomorph zu , hier interessieren aber auch Eigenschafen der Einbettung in . Ein Gitter heißt rational, wenn die erzeugenden Vektoren zu gehören.



Satz  

Zu einem Gitter

ist die topologische Restklassengruppe isomorph zum -dimensionalen Torus (mit Faktoren).

Beweis  

Nach Aufgabe können wir davon ausgehen, dass das Standardgitter ist. Für dieses gilt


Topologisch und gruppentheoretisch sind alle vollständigen Gitter zueinander äquivalent. Ein Gitter ist durch seine Basis festgelegt, aber nicht umgekehrt. Man kann aber einfach charakterisieren, ob zwei Basiselemente das gleiche Gitter erzeugen.



Lemma  

Es seien und Basen im .

Dann stimmen die zugehörigen Gitter und genau dann überein, wenn ihre Übergangsmatrix ganzzahlig mit Determinante ist.

Beweis  

Es seien und die (reellen) Übergangsmatrizen zwischen den beiden Basen, dabei gilt

und

nach dem Determinantenmultiplikationsatz. Seien die Gitter gleich. Dann folgt aus , dass in

die Koeffizienten ganzzahlig sind und damit sind die Übergangsmatrizen ganzzahlig. Ihre Determinanten sind somit auch ganzzahlig und aus der Determinantenbedingung folgt, dass die Determinanten oder sein müssen, da dies die einzigen Einheiten in sind.

Wenn beide Übergangsmatrizen ganzzahlig sind, so gilt

und damit Gleichheit.


Im Folgenden beschränken wir uns auf den folgenden Spezialfall.


Definition  

Unter einem Gitter in den komplexen Zahlen versteht man ein vollständiges Gitter .



Korollar  

Zwei reell linear unabhängige Paare und vom komplexen Zahlen

definieren genau dann das gleiche Gitter, wenn es eine invertierbare Matrix

mit

gibt.

Beweis  

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.


Beispielsweise stimmen die durch bzw. erzeugten Gitter überein, es besteht die Beziehung

bzw. umgekehrt