Graduierte Körpererweiterung/Zyklisch/Einheitswurzeln/Permutation auf Nullstellen/Beispiel

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Sei und sei ein Körper, der eine -te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei derart, dass das Polynom irreduzibel sei. Dann ist

eine nach Fakt -graduierte Körpererweiterung, und nach Fakt handelt es sich um eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe . Dabei ist auch der Zerfällungskörper von . Wenn die Restklasse von bezeichnet, so sind die verschiedenen Nullstellen dieses Polynoms gleich

die allesamt homogene Elemente der Stufe sind. Ein Charakter bzw. der zugehörige Automorphismus operiert gemäß Fakt auf dieser Nullstellenmenge (die nichtkanonisch isomorph zu ist) durch

Die graduierende Gruppe , sein Charakterdual , die Gruppe der -ten Einheitswurzeln , die Galoisgruppe und die Nullstellenmenge bestehen aus Elementen, die Permutationsgruppe von besteht somit aus Elementen. Zu je zwei Nullstellen und gibt es einen eindeutigen Charakter bzw. Automorphismus, dessen zugehörige Permutation in überführt, nämlich derjenige Charakter mit .

Bei und sind die beiden Nullstellen und der nichtkonstante Charakter vertauscht die beiden Nullstellen. Wegen rührt jede Permutation von einem Automorphismus bzw. einem Charakter her.

Bei und ist eine -graduierte Körpererweiterung. Die vier Nullstellen sind und . Die Irreduzibilität von ergibt sich dadurch, dass das Produkt von je zwei Linearfaktoren nicht zu gehört. Jeder Charakter ist durch bestimmt und die zugehörige Permutation auf der Nullstellenmenge ist die Multiplikation mit . Bei ist das die Permutation , bei ist das die Permutation und bei ist das die Permutation . Unter den Permutationen rühren also nur von einem Charakter her, eine Permutation wie , , und z.B. nicht.