Graduierte Körpererweiterung/Zyklisch/Einheitswurzeln/Permutation auf Nullstellen/Beispiel

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und sei ${}K$ ein Körper, der eine ${}n$-te primitive Einheitswurzel enthält. Es sei ${}a\in K$ derart, dass das Polynom ${}X^{n}-a$ irreduzibel sei. Dann ist

${}K\subseteq L=K[X]/{\left(X^{n}-a\right)}\,$

eine nach Fakt ${}D=\mathbb {Z} /(n)$-graduierte Körpererweiterung, und nach Fakt handelt es sich um eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)=D^{\vee }\cong \mathbb {Z} /(n)$. Dabei ist ${}L$ auch der Zerfällungskörper von ${}X^{n}-a$. Wenn ${}x$ die Restklasse von ${}X$ bezeichnet, so sind die ${}n$ verschiedenen Nullstellen dieses Polynoms gleich

$\zeta x{\text{ mit }}\zeta \in \mu _{n}(K)={\left\{z\in K\mid z^{n}=1\right\}},$

die allesamt homogene Elemente der Stufe ${}1\in D$ sind. Ein Charakter ${}\chi \in D^{\vee }$ bzw. der zugehörige Automorphismus ${}\varphi _{\chi }$ operiert gemäß Fakt auf dieser Nullstellenmenge ${}M$ (die nichtkanonisch isomorph zu $\mu _{n}(K)$ ist) durch

$\varphi _{\chi }\colon M\longrightarrow M,\,\zeta x\longmapsto \chi (1)\zeta x.$

Die graduierende Gruppe ${}D$, sein Charakterdual ${}D^{\vee }$, die Gruppe der ${}n$-ten Einheitswurzeln ${}\mu _{n}(K)$, die Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ und die Nullstellenmenge ${}M$ bestehen aus ${}n$ Elementen, die Permutationsgruppe von ${}M$ besteht somit aus ${}n!$ Elementen. Zu je zwei Nullstellen ${}x_{1}=\zeta _{1}x$ und ${}x_{2}=\zeta _{2}x$ gibt es einen eindeutigen Charakter bzw. Automorphismus, dessen zugehörige Permutation ${}x_{1}$ in ${}x_{2}$ überführt, nämlich derjenige Charakter ${}\chi$ mit ${}\chi (1)=\zeta _{2}\zeta _{1}^{-1}$.

Bei ${}K=\mathbb {Q}$ und ${}L=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]=\mathbb {Q} [X]/{\left(X^{2}+1\right)}$ sind ${}M=\{{\mathrm {i} },-{\mathrm {i} }\}$ die beiden Nullstellen und der nichtkonstante Charakter vertauscht die beiden Nullstellen. Wegen ${}2!=2$ rührt jede Permutation von einem Automorphismus bzw. einem Charakter her.

Bei ${}K=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$ und ${}X^{4}-3\in K[X]$ ist ${}L=K[X]/{\left(X^{4}-3\right)}$ eine ${}\mathbb {Z} /(4)$-graduierte Körpererweiterung. Die vier Nullstellen sind ${}{\sqrt[{4}]{3}},\,-{\sqrt[{4}]{3}},\,{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$ und ${}-{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$. Die Irreduzibilität von ${}X^{4}-3$ ergibt sich dadurch, dass das Produkt von je zwei Linearfaktoren nicht zu ${}K[X]$ gehört. Jeder Charakter ${}\chi$ ist durch ${}\chi (1)$ bestimmt und die zugehörige Permutation auf der Nullstellenmenge ist die Multiplikation mit ${}\chi (1)$. Bei ${}\chi (1)=-1$ ist das die Permutation ${}{\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow -{\sqrt[{4}]{3}},\,{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow -{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$, bei ${}\chi (1)={\mathrm {i} }$ ist das die Permutation ${}{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto {\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto -{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto -{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$ und bei ${}\chi (1)=-{\mathrm {i} }$ ist das die Permutation ${}{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto -{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto -{\sqrt[{4}]{3}}\mapsto {\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$. Unter den ${}24$ Permutationen rühren also nur ${}4$ von einem Charakter her, eine Permutation wie ${}{\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow {\sqrt[{4}]{3}}$, ${}-{\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow -{\sqrt[{4}]{3}}$, und ${}{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}\leftrightarrow -{\mathrm {i} }{\sqrt[{4}]{3}}$ z.B. nicht.