Gruppentheorie/Satz von Lagrange/Textabschnitt

Joseph-Louis Lagrange (1736 Turin - 1813 Paris)

Satz

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe von ${}G$.

Dann ist ihre Kardinalität ${}{\#\left(H\right)}$ ein Teiler von ${}{\#\left(G\right)}$.

Beweis

Betrachte die Linksnebenklassen ${}gH:={\left\{gh\mid h\in H\right\}}$ für sämtliche ${}g\in G$. Es ist

$H\longrightarrow gH,\,h\longmapsto gh,$

eine Bijektion zwischen ${}H$ und ${}gH$, sodass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar ${}{\#\left(H\right)}$ Elemente haben). Die Nebenklassen bilden (als Äquivalenzklassen) zusammen eine Zerlegung von ${}G$, sodass ${}{\#\left(G\right)}$ ein Vielfaches von ${}{\#\left(H\right)}$ sein muss.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und sei ${}g\in G$ ein Element.

Dann teilt die Ordnung von ${}g$ die Gruppenordnung.

Beweis

Es sei ${}H$ die von ${}g$ erzeugte Untergruppe. Nach Fakt ist

${}\operatorname {ord} \,(g)=\operatorname {ord} \,(H)\,.$

Daher teilt diese Zahl nach Fakt die Gruppenordnung von ${}G$.

$\Box$

Definition

Zu einer Untergruppe ${}H\subseteq G$ heißt die Anzahl der (Links- oder Rechts--)Nebenklassen der Index von ${}H$ in ${}G$, geschrieben

$\operatorname {ind} _{G}H.$

In der vorstehenden Definition ist Anzahl im allgemeinen als die Mächtigkeit einer Menge zu verstehen. Der Index wird aber hauptsächlich dann verwendet, wenn er endlich ist, wenn es also nur endlich viele Nebenklassen gibt. Das ist bei endlichem ${}G$ automatisch der Fall, kann aber auch bei unendlichem ${}G$ der Fall sein, wie schon die Beispiele ${}\mathbb {Z} n\subseteq \mathbb {Z}$, ${}n\geq 1$, zeigen. Wenn ${}G$ eine endliche Gruppe ist und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe, so gilt aufgrund des Satzes von Lagrange die einfache Indexformel

${}{\#\left(G\right)}={\#\left(H\right)}\cdot \operatorname {ind} _{G}H\,.$