Hauptidealbereich/Faktoriell/Z/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,

wenn es irreduzibel ist.

Beweis

Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach Fakt stets irreduzibel. Es sei also umgekehrt ${}p$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass ${}p$ das Produkt ${}ab$ teilt, sagen wir ${}pc=ab$. Nehmen wir an, dass ${}a$ kein Vielfaches von ${}p$ ist. Dann sind aber ${}a$ und ${}p$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette ${}(p)\subset (p,a)=(d)\subset R$ der Irreduzibilität von ${}p$ widerspricht. Damit teilt ${}p$ nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor ${}b$.

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Lemma

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit ${}a\neq 0$ als ein Produkt von irreduziblen Elementen darstellen.

Beweis

Angenommen, jede Zerlegung ${}a=p_{1}\cdots p_{k}$ enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette ${}a_{1}=a,a_{2},a_{3},\ldots$, wobei ${}a_{n+1}$ ein nicht-trivialer Teiler von ${}a_{n}$ ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette

${}(a_{1})\subset (a_{2})\subset (a_{3})\subset \cdots \,.$

Die Vereinigung dieser Ideale ist aber nach Aufgabe ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.

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Satz

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit ${}a\neq 0$ darstellen als Produkt von Primelementen. Diese Darstellung ist eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziiertheit. Wählt man aus jeder Assoziiertheitsklasse von Primelementen einen festen Repräsentanten ${}p$, so gibt es eine bis auf die Reihenfolge eindeutige Darstellung ${}a=u\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}$, wobei ${}u$ eine Einheit ist und die ${}p_{i}$ Repräsentanten sind.

Beweis

Die erste Aussage folgt direkt aus Fakt und Fakt.

Die behauptete Eindeutigkeit bis auf Umordnung bedeutet, dass wenn

${}a=u\cdot p_{1}\cdots p_{k}=v\cdot q_{1}\cdots q_{m}\,$

zwei Primfaktorzerlegungen sind, dass dann ${}k=m$ ist und es eine Permutation ${}\tau$ auf ${}\{1,\ldots ,k\}$ gibt derart, dass ${}p_{i}$ und ${}q_{\tau (i)}$ assoziiert sind für alle ${}i\in \{1,\ldots ,k\}$. Wir beweisen diese Aussage durch Induktion über ${}k$. Es sei zuerst ${}k=0$ (das sei zugelassen). Dann steht links eine Einheit, also muss auch rechts eine Einheit stehen, was ${}m=0$ bedeutet.

Es sei also ${}k>0$ und die Aussage sei für alle kleineren ${}k$ bewiesen. Die Gleichung ${}(*)$ bedeutet insbesondere, dass ${}p_{k}$ das Produkt rechts teilt. Da ${}p_{k}$ prim ist, muss ${}p_{k}$ nach dem Lemma von Euklid einen der Faktoren rechts teilen. Nach Umordnung kann man annehmen, dass ${}q_{m}$ von ${}p_{k}$ geteilt wird. Da ${}q_{m}$ ebenfalls prim ist, sind ${}q_{m}$ und ${}p_{k}$ assoziiert. Also ist

${}q_{m}=wp_{k}\,$

mit einer Einheit ${}w$ und man kann die Gleichung ${}(*)$ nach ${}p_{k}$ kürzen und erhält

${}u\cdot p_{1}\cdots p_{k-1}=(vw)\cdot q_{1}\cdots q_{m-1}\,.$

Die Induktionsvoraussetzung liefert dann ${}k-1=m-1$ und dass jedes ${}p_{i}$ zu einem ${}q_{j}$ assoziiert ist.

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Diesen Satz kann man auch so ausdrücken, dass Hauptidealbereiche faktoriell sind im Sinne der folgenden Definition. Für solche Bereiche gilt ganz allgemein, dass die Primfaktorzerlegung eindeutig ist.

Definition

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1. Jedes irreduzible Element in ${}R$ ist prim.
2. Jedes Element ${}a\in R$, ${}a\neq 0$, ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.

Korollar

Jede positive natürliche Zahl lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.

Beweis

Dies folgt sofort aus Fakt.

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Korollar

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und seien ${}a$ und ${}b$ zwei Elemente ${}\neq 0$ mit Primfaktorzerlegungen

$a=u\cdot p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}{\mbox{ und }}b=v\cdot p_{1}^{s_{1}}\cdot p_{2}^{s_{2}}\cdots p_{k}^{s_{k}}$

(wobei die Exponenten auch ${}0$ sein können und ${}u,v$ Einheiten sind). Dann gilt ${}a{|}b$ genau dann, wenn ${}r_{i}\leq s_{i}$ ist für alle Exponenten ${}i=1,\ldots ,k$.

Beweis

Wenn die Exponentenbedingung erfüllt ist, so ist ${}s_{i}-r_{i}\geq 0$ und man kann

${}b=a{\left(vu^{-1}p_{1}^{s_{1}-r_{1}}\cdots p_{k}^{s_{k}-r_{k}}\right)}\,$

schreiben, was die Teilbarkeit bedeutet. Die Umkehrung folgt aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in Hauptidealbereichen (siehe Fakt).

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Beispiel

Wir betrachten den Ring ${}R=\mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]$, der aus allen komplexen Zahlen der Form

$a+b{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }{\text{ mit }}a,b\in \mathbb {Z}$

besteht und ein Unterring des Ringes der Eisensteinzahlen ${}\mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}]$ ist. Letzterer Ring ist nach Fakt euklidisch und ein Hauptidealbereich. Dagegen gilt in ${}R$ noch nicht einmal die eindeutige Primfaktorzerlegung, es ist nämlich

${}(1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })(1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })=4=2\cdot 2\,$

und in beiden Zerlegungen sind die Faktoren irreduzibel, da es in ${}R$ (und im Eisensteinring) keine Elemente mit Betragsquadrat ${}2$. Im Ring der Eisensteinzahlen sind wegen

${}1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }={\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}\cdot 2\,$

die Faktoren zueinander assoziiert, aber nicht in ${}R$, da es dort die Einheit ${}{\frac {1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ nicht gibt. Das Ideal

${}(2,1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })=(1-{\sqrt {3}}{\mathrm {i} },1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} })\,$

ist in ${}R$ kein Hauptideal.