Hauptidealbereich/Restklassenring/Kleiner Fermat/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}p\neq 0$ ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.

${}p$ ist ein Primelement.
${}R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
${}R/(p)$ ist ein Körper.

Die Äquivalenz (1) ${}\Leftrightarrow$ (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für ${}p=0$ ), siehe Aufgabe, und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei ${}a\in R/(p)$ von ${}0$ verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in ${}R$ ebenfalls mit ${}a$ . Es ist dann ${}a\notin (p)$ und es ergibt sich eine echte Idealinklusion ${}(p)\subset (a,p)$ . Ferner können wir ${}(a,p)=(b)$ schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt ${}p=cb$ . Da ${}c$ keine Einheit ist und ${}p$ prim (also nach Fakt auch irreduzibel) ist, muss ${}b$ eine Einheit sein. Es ist also ${}(a,p)=(1)$ , und das bedeutet modulo ${}p$ , also in ${}R/(p)$ , dass ${}a$ eine Einheit ist. Also ist ${}R/(p)$ ein Körper.

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Satz

Es sei ${}n\geq 1$ eine natürliche Zahl und ${}\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Körper.

${}\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Integritätsbereich.

${}n$ ist eine Primzahl.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

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Wenn also ${}p$ eine Primzahl ist, so ist der Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(p)$ ein Körper mit ${}p$ Elementen, den man auch den Restklassenkörper nennt. Die Einheitengruppe

{}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }=\{1,\ldots ,p-1\}\,

ist eine Gruppe mit ${}p-1$ Elementen (bezüglich der Multiplikation). Bei ${}p=5$ hat man beispielsweise

{\overline {2}}\,^{0}={\overline {1}}\,,\,{\overline {2}}\,^{1}={\overline {2}}\,,\,{\overline {2}}\,^{2}={\overline {4}}\,={\overline {-1}}\,,\,{\overline {2}}\,^{3}={\overline {8}}\,={\overline {3}}\,,

d.h. die Potenzen von ${}{\overline {2}}\,$ durchlaufen sämtliche vier Elemente dieser Gruppe, die sich damit als zyklisch erweist. Es gilt generell, was wir aber nicht beweisen werden, dass für jede Primzahl ${}p$ die Einheitengruppe des Restklassenkörpers ${}\mathbb {Z} /(p)$ zyklisch ist! Diese Gruppen nennt man auch die primen Restklassengruppen. Es gibt aber keine einfache Methode, einen Erzeuger dieser multiplikativen Gruppe zu finden; man muss zu den verschiedenen Elementen ihre Potenzen ausrechen und so ihre Ordnung bestimmen, bis man ein Element der Ordnung ${}p-1$ findet. Da Potenzen schnell groß werden, sollte man die Rechnungen stets in ${}\mathbb {Z} /(p)$ ausführen (also immer modulo ${}p$ gehen) und nicht in ${}\mathbb {Z}$ . Ferner ist der Satz von Lagrange hilfreich, nachdem als Ordung der Elemente in ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ nur Teiler von ${}p-1$ vorkommen können.

Die folgende Aussage heißt kleiner Fermat.

Satz

Für eine Primzahl ${}p$ und eine beliebige ganze Zahl ${}a$ gilt

${}a^{p}\equiv a\mod p\,.$

Anders ausgedrückt: ${}a^{p}-a$ ist durch ${}p$ teilbar.

Beweis

Ist ${}a$ nicht durch ${}p$ teilbar, so definiert ${}a$ ein Element ${}{\bar {a}}$ in der Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ ; diese Gruppe hat die Ordnung ${}p-1$ , und nach dem Satz von Lagrange gilt ${}{\bar {a}}^{p-1}=1$ . Durch Multiplikation mit ${}a$ ergibt sich die Behauptung. Für Vielfache von ${}p$ gilt die Aussage ebenso, da dann beidseitig ${}0$ steht.

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Für ${}p=5$ gilt beispielsweise in ${}\mathbb {Z} /(5)$

1^{5}=1,\,2^{5}=32=2,\,3^{5}=243=3,\ 4^{5}=1024=4,

Für Zahlen, die keine Primzahlen sind, gilt die entsprechende Aussage nicht. So ist etwa in ${}\mathbb {Z} /(4)$

{}3^{4}=81=1\neq 3\,.

Wenn man mit dem Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$ startet, so erhält man zu einem irreduzbilen Polynom ${}F\in K[X]$ den Körper ${}K[X]/(F)$ . Dies ist eine wichtige Methode, um neue Körper zu konstruieren. Wenn ${}F=X+a$ ein lineares Polynom ist, so ist ${}K[X]/(X+a)\cong K$ . Bei irreduziblen Polynomen von höherem Grad ergeben sich aber neue Körper, wie schon das Beispiel

{}\mathbb {R} [X]/{\left(X^{2}+1\right)}\cong {\mathbb {C} }\,

zeigt. Insbesondere kann man mit dieser Methode viele endliche Körper konstruieren: Ein irreduzibles Polynom ${}F\in \mathbb {Z} /(p)[X]$ vom Grad ${}d$ führt zum Körper ${}\mathbb {Z} /(p)[X]/(F)$ mit ${}p^{d}$ Elementen. Siehe Aufgabe.