Hauptidealbereich/Restklassenring/Kleiner Fermat/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}p\neq 0$ ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.

${}p$ ist ein Primelement.
${}R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
${}R/(p)$ ist ein Körper.

Die Äquivalenz (1) ${}\Leftrightarrow$ (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für ${}p=0$ ), siehe Aufgabe, und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei ${}a\in R/(p)$ von ${}0$ verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in ${}R$ ebenfalls mit ${}a$ . Es ist dann ${}a\notin (p)$ und es ergibt sich eine echte Idealinklusion ${}(p)\subset (a,p)$ . Ferner können wir ${}(a,p)=(b)$ schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt ${}p=cb$ . Da ${}c$ keine Einheit ist und ${}p$ prim (also nach Fakt auch irreduzibel) ist, muss ${}b$ eine Einheit sein. Es ist also ${}(a,p)=(1)$ , und das bedeutet modulo ${}p$ , also in ${}R/(p)$ , dass ${}a$ eine Einheit ist. Also ist ${}R/(p)$ ein Körper.

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Satz

Es sei ${}n\geq 1$ eine natürliche Zahl und ${}\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Körper.

${}\mathbb {Z} /(n)$ ist ein Integritätsbereich.

${}n$ ist eine Primzahl.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

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Wenn also ${}p$ eine Primzahl ist, so ist der Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(p)$ ein Körper mit ${}p$ Elementen, den man auch den Restklassenkörper nennt. Die Einheitengruppe

{}\mathbb {Z} /(p)^{\times }=\{1,\ldots ,p-1\}\,

ist eine Gruppe mit ${}p-1$ Elementen (bezüglich der Multiplikation). Bei ${}p=5$ hat man beispielsweise

{\overline {2}}\,^{0}={\overline {1}}\,,\,{\overline {2}}\,^{1}={\overline {2}}\,,\,{\overline {2}}\,^{2}={\overline {4}}\,={\overline {-1}}\,,\,{\overline {2}}\,^{3}={\overline {8}}\,={\overline {3}}\,,

d.h. die Potenzen von ${}{\overline {2}}\,$ durchlaufen sämtliche vier Elemente dieser Gruppe, die sich damit als zyklisch erweist. Es gilt generell, was wir aber nicht beweisen werden, dass für jede Primzahl ${}p$ die Einheitengruppe des Restklassenkörpers ${}\mathbb {Z} /(p)$ zyklisch ist! Diese Gruppen nennt man auch die primen Restklassengruppen.

Die folgende Aussage heißt kleiner Fermat.

Satz

Für eine Primzahl ${}p$ und eine beliebige ganze Zahl ${}a$ gilt

${}a^{p}\equiv a\mod p\,.$

Anders ausgedrückt: ${}a^{p}-a$ ist durch ${}p$ teilbar.

Beweis

Ist ${}a$ nicht durch ${}p$ teilbar, so definiert ${}a$ ein Element ${}{\bar {a}}$ in der Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ ; diese Gruppe hat die Ordnung ${}p-1$ , und nach dem Satz von Lagrange gilt ${}{\bar {a}}^{p-1}=1$ . Durch Multiplikation mit ${}a$ ergibt sich die Behauptung. Für Vielfache von ${}p$ gilt die Aussage ebenso, da dann beidseitig ${}0$ steht.