Hauptidealbereich/Teilbarkeitstheorie/Textabschnitt

Die folgende Aussage heißt Lemma von Bezout.

Satz

Es sei ${}R$ ein Hauptidealring. Dann gilt:

Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler ${}d$, und dieser lässt sich als Linearkombination der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt Elemente ${}r_{1},\ldots ,r_{n}\in R$ mit ${}r_{1}a_{1}+r_{2}a_{2}+\cdots +r_{n}a_{n}=d$.

Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ eine Darstellung der ${}1$.

Beweis

Sei ${}I=(a_{1},\ldots ,a_{n})$ das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element ${}d$ mit ${}I=(d)$. Wir behaupten, dass ${}d$ ein größter gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$ ist. Die Inklusionen ${}(a_{i})\subseteq I=(d)$ zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Es sei ${}e$ ein weiterer gemeinsamer Teiler der ${}a_{1},\ldots ,a_{n}$. Dann ist wieder ${}(d)=I\subseteq (e)$, was wiederum ${}e{|}d$ bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus ${}d\in I=(a_{1},\ldots ,a_{n})$.

Im teilerfremden Fall ist ${}I=(a_{1},\ldots ,a_{n})=R$.

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Die folgende Kurzform wird auch oft als Lemma von Bezout bezeichnet.

Korollar

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und seien ${}a,b\in R$ teilerfremde Elemente.

Dann kann man die ${}1$ als Linearkombination von ${}a$ und ${}b$ darstellen, d.h. es gibt Elemente ${}r,s\in R$ mit ${}ra+sb=1$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

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Die folgende Aussage heißt Lemma von Euklid.

Satz

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}a,b,c\in R$. Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremd und ${}a$ teile das Produkt ${}bc$. Dann teilt ${}a$ den Faktor ${}c$.

Beweis

Da ${}a$ und ${}b$ teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bezout Elemente ${}r,s\in R$ mit ${}ra+sb=1$. Die Voraussetzung, dass ${}a$ das Produkt ${}bc$ teilt, schreiben wir als ${}bc=da$. Damit gilt

${}c=c1=c(ra+sb)=cra+csb=acr+ads=a(cr+ds)\,,$

was zeigt, dass ${}c$ ein Vielfaches von ${}a$ ist.

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Satz

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,

wenn es irreduzibel ist.

Beweis

Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach Fakt stets irreduzibel. Es sei also umgekehrt ${}p$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass ${}p$ das Produkt ${}ab$ teilt, sagen wir ${}pc=ab$. Nehmen wir an, dass ${}a$ kein Vielfaches von ${}p$ ist. Dann sind aber ${}a$ und ${}p$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette ${}(p)\subset (p,a)=(d)\subset R$ der Irreduzibilität von ${}p$ widerspricht. Damit teilt ${}p$ nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor ${}b$.

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Lemma

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit ${}a\neq 0$ als ein Produkt von irreduziblen Elementen darstellen.

Beweis

Angenommen, jede Zerlegung ${}a=p_{1}\cdots p_{k}$ enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette ${}a_{1}=a,a_{2},a_{3},\ldots$, wobei ${}a_{n+1}$ ein nicht-trivialer Teiler von ${}a_{n}$ ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette

${}(a_{1})\subset (a_{2})\subset (a_{3})\subset \cdots \,.$

Die Vereinigung dieser Ideale ist aber nach Aufgabe ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.

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