Hauptidealbereich/Teilbarkeitstheorie/Textabschnitt

Die folgende Aussage heißt Lemma von Bézout.

Satz

Es sei $R$ ein Hauptidealring. Dann gilt:

Elemente $a_{1}, \dots, a_{n}$ besitzen stets einen größten gemeinsamen Teiler $d$ , und dieser lässt sich als Linearkombination der $a_{1}, \dots, a_{n}$ darstellen, d.h. es gibt Elemente $r_{1}, \dots, r_{n} \in R$ mit $r_{1} a_{1} + r_{2} a_{2} + \dots + r_{n} a_{n} = d$ .

Insbesondere besitzen teilerfremde Elemente $a_{1}, \dots, a_{n}$ eine Darstellung der $1$ .

Beweis

Es sei $I = (a_{1}, \dots, a_{n})$ das von den Elementen erzeugte Ideal. Da wir in einem Hauptidealring sind, handelt es sich um ein Hauptideal; es gibt also ein Element $d$ mit $I = (d)$ . Wir behaupten, dass $d$ ein größter gemeinsamer Teiler der $a_{1}, \dots, a_{n}$ ist. Die Inklusionen $(a_{i}) \subseteq I = (d)$ zeigen, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler handelt. Es sei $e$ ein weiterer gemeinsamer Teiler der $a_{1}, \dots, a_{n}$ . Dann ist wieder $(d) = I \subseteq (e)$ , was wiederum $e | d$ bedeutet. Die Darstellungsaussage folgt unmittelbar aus $d \in I = (a_{1}, \dots, a_{n})$ .

Im teilerfremden Fall ist $I = (a_{1}, \dots, a_{n}) = R$ .

◻

Die folgende Kurzform wird auch oft als Lemma von Bézout bezeichnet.

Korollar

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und seien $a, b \in R$ teilerfremde Elemente.

Dann kann man die $1$ als Linearkombination von $a$ und $b$ darstellen, d.h. es gibt Elemente $r, s \in R$ mit $r a + s b = 1$ .

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt.

◻

Die folgende Aussage heißt Lemma von Euklid.

Satz

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich und $a, b, c \in R$ . Es seien $a$ und $b$ teilerfremd und $a$ teile das Produkt $b c$ .

Dann teilt $a$ den Faktor $c$ .

Beweis

Da $a$ und $b$ teilerfremd sind, gibt es nach dem Lemma von Bézout Elemente $r, s \in R$ mit $r a + s b = 1$ . Die Voraussetzung, dass $a$ das Produkt $b c$ teilt, schreiben wir als $b c = d a$ . Damit gilt

c = c 1 = c (r a + s b) = c r a + c s b = a c r + a d s = a (c r + d s),

was zeigt, dass $c$ ein Vielfaches von $a$ ist.

◻

Satz

Es sei $R$ ein Hauptidealbereich. Dann ist ein Element genau dann prim,

wenn es irreduzibel ist.

Beweis

Ein Primelement in einem Integritätsbereich ist nach Fakt stets irreduzibel. Es sei also umgekehrt $p$ irreduzibel, und nehmen wir an, dass $p$ das Produkt $a b$ teilt, sagen wir $p c = a b$ . Nehmen wir an, dass $a$ kein Vielfaches von $p$ ist. Dann sind aber $a$ und $p$ teilerfremd, da eine echte Inklusionskette $(p) \subset (p, a) = (d) \subset R$ der Irreduzibilität von $p$ widerspricht. Damit teilt $p$ nach dem Lemma von Euklid den anderen Faktor $b$ .

◻

Lemma

In einem Hauptidealbereich lässt sich jede Nichteinheit $a \neq 0$ als ein Produkt von irreduziblen Elementen darstellen.

Beweis

Angenommen, jede Zerlegung $a = p_{1} \dots p_{k}$ enthalte nicht irreduzible Elemente. Dann gibt es in jedem solchen Produkt einen Faktor, der ebenfalls keine Zerlegung in irreduzible Faktoren besitzt. Wir erhalten also eine unendliche Kette $a_{1} = a, a_{2}, a_{3}, \dots$ , wobei $a_{n + 1}$ ein nicht-trivialer Teiler von $a_{n}$ ist. Somit haben wir eine echt aufsteigende Idealkette

(a_{1}) \subset (a_{2}) \subset (a_{3}) \subset \dots .

Die Vereinigung dieser Ideale ist aber nach Aufgabe ebenfalls ein Ideal und nach Voraussetzung ein Hauptideal. Dies ist ein Widerspruch.

◻