Hilbertraum/Projektion/Linearform/Stetigkeit/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei ${}U\subseteq V$ ein abgeschlossener Untervektorraum mit dem orthogonalen Komplement ${}U^{\perp }$. Dann gelten folgenden Aussagen.

1. ${}U^{\perp }$ ist ebenfalls abgeschlossen.
2. Es gilt

   ${}v=p_{U}(v)+p_{U^{\perp }}(v)\,.$

3. ${}p_{U}$ ist linear und stetig.

Beweis

1. Siehe Aufgabe.
2. Klar.
3. Eine mehrfache Anwendung von (2) liefert

   ${}{\begin{aligned}p_{U}(a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2})+p_{U^{\perp }}(a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2})&=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}\\&=a_{1}p_{U}(v_{1})+a_{1}p_{U^{\perp }}(v_{1})+a_{2}p_{U}(v_{2})+a_{2}p_{U^{\perp }}(v_{2})\\&=a_{1}p_{U}(v_{1})+a_{2}p_{U}(v_{2})+a_{1}p_{U^{\perp }}(v_{1})+a_{2}p_{U^{\perp }}(v_{2}).\end{aligned}}$

   Die Linearität folgt durch Vergleich der Summanden in ${}U$ und in ${}U^{\perp }$. Wegen

   ${}{\begin{aligned}\Vert {v}\Vert ^{2}&=\left\langle v,v\right\rangle \\&=\left\langle p_{U}(v)+p_{U^{\perp }}(v),p_{U}(v)+p_{U^{\perp }}(v)\right\rangle \\&=\left\langle p_{U}(v),p_{U}(v)\right\rangle +\left\langle p_{U^{\perp }}(v),p_{U^{\perp }}(v)\right\rangle \\&=\Vert {p_{U}(v)}\Vert ^{2}+\Vert {p_{U^{\perp }}(v)}\Vert ^{2}\end{aligned}}$

   ist

   ${}\Vert {p_{U}(v)}\Vert \leq \Vert {v}\Vert \,,$

   woraus die Stetigkeit mit Fakt folgt.

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Die folgende Aussage besagt, dass eine stetige Linearform auf einem Hilbertraum einen Gradienten besitzt. Im endlichdimensionalen Fall, in dem die Stetigkeit automatische erfüllt ist, folgt dies auch aus Fakt  (3). Für eine andere Formulierung dieses Sachverhaltes, den man den Darstellungssatz von Riesz nennt, siehe Aufgabe.

Lemma

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Hilbertraum und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine stetige Linearform.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor ${}x\in V$ mit

${}\varphi (v)=\left\langle v,x\right\rangle \,$

für alle ${}v\in V$.

Beweis

Bei der Nullabbildung ist ${}x=0$ zu nehmen, sei also ${}\varphi$ nicht die Nullabbildung. Es sei ${}z\in V$ mit ${}\varphi (z)\neq 0$ und sei ${}U=\operatorname {kern} \varphi$. Durch Multiplikation mit einem Skalar können wir davon ausgehen, dass ${}\varphi (z)$ eine positive reelle Zahl ist. Wegen der Stetigkeit und der Linearität ist ${}U$ ein abgeschlossener Untervektoraum von ${}V$. Das orthogonale Komplement ${}U^{\perp }$ ist eindimensional: Zu ${}w,w'\in U^{\perp }$ gibt es ${}a\in {\mathbb {K} }$ mit ${}\varphi (w')=a\varphi (w)$, daher ist ${}w'-aw\in U$ und wegen der Orthogonalität ist ${}w'-aw=0$. Wir schreiben

${}z=p_{U}(z)+y\,$

mit ${}p_{U}(z)\in U$ und ${}y\in U^{\perp }$ im Sinne von Fakt. Es ist ${}\varphi (z)=\varphi (y)$. Wir setzen

${}x:={\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y\,,$

dies sichert

${}{\begin{aligned}\left\langle x,x\right\rangle &=\left\langle {\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y,{\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}y\right\rangle \\&={\frac {\varphi (y)^{2}}{\Vert {y}\Vert ^{4}}}\left\langle y,y\right\rangle \\&={\frac {\varphi (y)}{\Vert {y}\Vert ^{2}}}\varphi (y)\\&=\varphi (x).\end{aligned}}$

Für ${}v\in V$ mit der kanonischen Zerlegung

${}v=u+w\,$

ist dann

${}{\begin{aligned}\left\langle v,x\right\rangle &=\left\langle u+w,x\right\rangle \\&=\left\langle w,x\right\rangle \\&=\left\langle ax,x\right\rangle \\&=a\left\langle x,x\right\rangle \\&=a\varphi (x)\\&=\varphi (w)\\&=\varphi (u+w)\\&=\varphi (v).\end{aligned}}$

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Lemma

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Hilbertraum und ${}T\subseteq V$ eine Teilmenge.

Dann erzeugt ${}T$ genau dann einen dichten Untervektorraum in ${}V$, wenn die Eigenschaft

${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

für alle ${}w\in T$ nur für ${}v=0$ gilt.

Beweis

Es erzeuge zuerst ${}T$ einen dichten Untervektorraum ${}U$ und sei ${}v\in V$ gegeben mit

${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

für alle ${}w\in T$. Diese Eigenschaft überträgt sich auf alle ${}w\in U$. Wegen der Dichtheit von ${}U$ gibt es eine Folge ${}w_{n}\in U$, die gegen ${}v$ konvergiert. Dann konvergiert wegen der Stetigkeit des Skalarproduktes die Folge ${}\left\langle v,w_{n}\right\rangle =0$ gegen ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$. also ist ${}v=0$.

Es erzeuge nun ${}T$ einen Untervektorraum ${}U$, der nicht dicht sei, es sei

${}W={\overline {U}}\,$

und sei ${}z\in V\setminus W$. Es sei ${}z=y+v$ die Zerlegung im Sinne von Fakt mit ${}y\in W$ und ${}v\in W^{\perp }$. Dann ist

${}v\neq 0\,,$

dieser Vektor steht aber senkrecht auf allen Vektoren aus ${}W$.

$\Box$