Invariantenringe/Algebra/Untergruppen/Textabschnitt

Proposition

Es sei ${}R\times G\rightarrow R$ eine Operation einer Gruppe ${}G$ auf einem kommutativen Ring durch Ringautomorphismen. Sei ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Dann gelten folgende Aussagen.

1. ${}R^{G}\subseteq R^{H}$.
2. Sind ${}H_{1}$ und ${}H_{2}$ Untergruppen in ${}G$ mit ${}G=H_{1}\cdot H_{2}$, so ist

   ${}R^{H_{1}}\cap R^{H_{2}}=R^{G}\,.$

3. Ist ${}H$ ein Normalteiler in ${}G$, so operiert die Restklassengruppe ${}G/H$ auf ${}R^{H}$ durch

   ${}f[\sigma ]:=f\sigma \,.$

   Dabei ist

   ${}R^{G}={\left(R^{H}\right)}^{G/H}\,.$

Beweis

(1) ist klar.
(2). Die Voraussetzung bedeutet, dass man ${}\sigma =\prod _{i=1}^{n}\sigma _{i}$ mit gewissen ${}\sigma _{i}\in H_{1}$ oder ${}\sigma _{i}\in H_{2}$ schreiben kann.

Die Inklusion ${}\supseteq$ ist nach (1) klar. Die Inklusion ${}\subseteq$ ist wegen

${}f\sigma =f\prod _{i=1}^{n}\sigma _{i}=f\sigma _{1}\prod _{i=2}^{n}\sigma _{i}=f\prod _{i=2}^{n}\sigma _{i}=f\,$

klar.
(3). Die Operation ist zunächst wohldefiniert, d.h. unabhängig vom Repräsentanten. Es seien dazu ${}\sigma ,\sigma '\in G$ gegeben mit ${}\sigma '\sigma ^{-1}\in H$. Dann ist

${}f\sigma '=f\sigma '\sigma ^{-1}\sigma =f\sigma \,.$

Wegen der Normalteilereigenschaft gibt es für ${}\sigma \in G$ und ${}\tau \in H$ ein ${}\tau '\in H$ mit ${}\sigma \tau =\tau '\sigma$. Für ${}f\in R^{H}$ ist

${}(f\sigma )\tau =f\tau '\sigma =f\sigma \,$

und somit gehört ${}f\sigma$ ebenfalls zu ${}R^{H}$. Wir haben also eine Abbildung

$R^{H}\times G\longrightarrow R^{H}.$

Diese Abbildung ist in der Tat eine Gruppenoperation. Das neutrale Element wirkt identisch und die Assoziativität ergibt sich aus

${}f([\sigma ][\tau ])=f[\sigma \tau ]=f(\sigma \tau )=(f\sigma )\tau =(f[\sigma ])\tau =(f[\sigma ])[\tau ]\,.$

Es liegt also eine Operation von ${}G$ auf ${}R^{H}$ vor, und da die Elemente ${}\sigma \in H$ identisch wirken, induziert dies eine Operation von ${}G/H$ auf ${}R^{H}$. Bei den Abbildungen ${}f\mapsto f\sigma$ handelt es sich um Ringautomorphismen, da es sich um Einschränkungen von Ringautomorphismen auf ${}R$ handelt, wobei sich die Surjektivität aus der Existenz von ${}\sigma ^{-1}$ ergibt.

Wir kommen zur Gleichheit

${}R^{G}={\left(R^{H}\right)}^{G/H}\,.$

Zum Beweis der Inklusion ${}\subseteq$ sei ${}f\in R^{G}$. Dann ist insbesondere ${}f\in R^{H}$. Wegen ${}f[\sigma ]=f\sigma =f$ ist ${}f$ auch ${}G/H$- invariant. Zum Beweis der Inklusion ${}\supseteq$ sei ${}f\in {\left(R^{H}\right)}^{G/H}\subseteq R^{H}$. Doch dann ist für ${}\sigma \in G$ wiederum ${}f\sigma =f[\sigma ]=f$.

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Lemma

Es sei

$R\times G\longrightarrow R$

eine Operation einer Gruppe ${}G$ auf einem kommutativen Ring ${}R$ durch Ringautomorphismen. Es seien ${}H,H'\subseteq G$ konjugierte Untergruppen.

Dann sind die Invariantenringe ${}R^{H}$ und ${}R^{H'}$ in natürlicher Weise isomorph.

Beweis

Die beiden Untergruppen seien vermöge ${}\tau \in G$ zueinander konjugiert, d.h. die Abbildung

$H\longrightarrow H',\,\sigma \longmapsto \tau ^{-1}\sigma \tau ,$

sei ein Gruppenisomorphismus. Wir betrachten den zu ${}\tau$ gehörenden Ringautomorphismus

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f\tau .$

Für ${}f\in R^{H}$ und ${}\sigma '\in H'$ mit ${}\sigma '=\tau ^{-1}\sigma \tau$ ist

${}(f\tau )\sigma '=(f\tau )(\tau ^{-1}\sigma \tau )=f\sigma \tau =f\tau \,,$

also liegt das Bild in ${}R^{H'}$. Da man die Rollen von ${}H$ und ${}H'$ vertauschen kann, liegt ein Isomorphismus vor.

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