Invariantenringe/Algebra/Untergruppen/Textabschnitt

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Proposition  

Es sei eine Operation einer Gruppe auf einem kommutativen Ring durch Ringautomorphismen. Sei eine Untergruppe. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. .
  2. Sind und Untergruppen in mit , so ist
  3. Ist ein Normalteiler in , so operiert die Restklassengruppe auf durch

    Dabei ist

Beweis  

(1) ist klar.
(2). Die Voraussetzung bedeutet, dass man mit gewissen oder schreiben kann.

Die Inklusion ist nach (1) klar. Die Inklusion ist wegen

klar.
(3). Die Operation ist zunächst wohldefiniert, d.h. unabhängig vom Repräsentanten. Seien dazu gegeben mit . Dann ist

Wegen der Normalteilereigenschaft gibt es für und ein mit . Für ist

und somit gehört ebenfalls zu . Wir haben also eine Abbildung

Diese Abbildung ist in der Tat eine Gruppenoperation. Das neutrale Element wirkt identisch und die Assoziativität ergibt sich aus

Es liegt also eine Operation von auf vor, und da die Elemente identisch wirken, induziert dies eine Operation von auf . Bei den Abbildungen handelt es sich um Ringautomorphismen, da es sich um Einschränkungen von Ringautomorphismen auf handelt, wobei sich die Surjektivität aus der Existenz von ergibt.

Wir kommen zur Gleichheit

Zum Beweis der Inklusion sei . Dann ist insbesondere . Wegen ist auch - invariant. Zum Beweis der Inklusion sei . Doch dann ist für wiederum .




Lemma  

Es sei

eine Operation einer Gruppe auf einem kommutativen Ring durch Ringautomorphismen. Es seien konjugierte Untergruppen.

Dann sind die Invariantenringe und in natürlicher Weise isomorph.

Beweis  

Die beiden Untergruppen seien vermöge zueinander konjugiert, d.h. die Abbildung

sei ein Gruppenisomorphismus. Wir betrachten den zu gehörenden Ringautomorphismus

und seine Einschränkung auf . Für und mit ist

also liegt das Bild in . Da man die Rollen von und vertauschen kann, liegt ein Isomorphismus vor.