Körpererweiterung/Q/Einbettungen/Spur und Norm/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$. Dann gibt es genau ${}n$ Einbettungen von ${}L$ in die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$.

Beweis

Nach dem Satz vom primitiven Element wird ${}L$ durch ein Element erzeugt, es ist also

${}L=\mathbb {Q} (x)\cong \mathbb {Q} [X]/(F)\,$

mit einem irreduziblen Polynom ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ vom Grad ${}n$. Da ${}F$ irreduzibel ist und da die Ableitung ${}F'\neq 0$ ist und kleineren Grad besitzt, folgt, dass ${}F$ und ${}F'$ teilerfremd sind. Nach Fakt ergibt sich, dass ${}F$ und ${}F'$ das Einheitsideal erzeugen, also ${}AF+BF'=1$ ist. Wir betrachten diese Polynome nun als Polynome in ${}{\mathbb {C} }[X]$, wobei die polynomialen Identitäten erhalten bleiben. Über den komplexen Zahlen zerfallen ${}F$ und ${}F'$ in Linearfaktoren, und wegen der Teilerfremdheit bzw. der daraus resultierenden Identität haben ${}F$ und ${}F'$ keine gemeinsame Nullstelle. Daraus folgt wiederum, dass ${}F$ keine mehrfache Nullstelle besitzt, sondern genau ${}n$ verschiedene komplexe Zahlen ${}z_{1},\ldots ,z_{n}$ als Nullstellen besitzt. Jedes ${}z_{i}$ definiert nun einen Ringhomomorphismus

$\rho _{i}\colon L\cong \mathbb {Q} [X]/(F)\longrightarrow {\mathbb {C} },\,X\longmapsto z_{i}.$

Da ${}L$ ein Körper ist, ist diese Abbildung injektiv. Da dabei ${}X$ auf verschiedene Elemente abgebildet wird, liegen ${}n$ verschiedene Abbildungen vor. Es kann auch keine weiteren Ringhomomorphismen ${}L\rightarrow {\mathbb {C} }$ geben, da jeder solche durch ${}X\mapsto z$ gegeben ist und ${}F(z)=0$ sein muss.

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Statt von komplexen Einbettungen spricht man auch von komplexen Realisierungen. Man beachte im vorstehenden Satz, dass das Bild von verschiedenen Einbettungen

$\rho _{i}\colon L\longrightarrow {\mathbb {C} }$

der gleiche Unterkörper von ${}{\mathbb {C} }$ sein kann. Dies gilt bereits für quadratische Erweiterungen wie ${}\mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]$. Man hat die beiden Einbettung ${}\rho _{1},\rho _{2}\colon \mathbb {Q} [{\mathrm {i} }]\rightarrow {\mathbb {C} }$, wobei die eine Abbildung ${}{\mathrm {i} }$ auf ${}{\mathrm {i} }$ und die andere ${}{\mathrm {i} }$ auf ${}-{\mathrm {i} }$ schickt. Das Bild ist aber in beiden Fällen gleich.

Wenn das Bild einer Einbettung ganz in den reellen Zahlen liegt, so spricht man auch von einer reellen Einbettung. Die Anzahl der reellen Einbettungen und die Anzahl der imaginären Einbettungen spielt eine wichtige Rolle in der algebraischen Zahlentheorie. Zu einem Element ${}z\in L$ nennt man die verschiedenen komplexen Zahlen

$z_{1}=\rho _{1}(z),\ldots ,z_{n}=\rho _{n}(z)$

zueinander konjugiert. Diese sind allesamt Nullstellen eines irreduziblen Polynoms ${}F$ mit rationalen Koeffizienten vom Grad ${}n$.

Lemma

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und ${}z\in L$ ein Element. Es seien

$\rho _{1},\ldots ,\rho _{n}\colon L\longrightarrow {\mathbb {C} }$

die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei ${}M=\{y_{1},\ldots ,y_{k}\}$ die Menge der verschiedenen Werte ${}\rho _{i}(z)$. Dann gilt in ${}{\mathbb {C} }[X]$ für das Minimalpolynom ${}G$ von ${}z$ die Gleichung

${}G=(X-y_{1})(X-y_{2})\cdots (X-y_{k})\,.$

Beweis

Es sei ${}K\subseteq L$ der von ${}z$ erzeugte Unterkörper von ${}L$. Es ist dann

${}K\cong \mathbb {Q} [X]/(G)\,$

mit dem (normierten) Minimalpolynom ${}G$ von ${}z$ und ${}K$ (bzw. ${}G$) haben den Grad ${}m$ über ${}\mathbb {Q}$. Gemäß Fakt gibt es ${}m$ Einbettungen ${}\sigma \colon K\rightarrow {\mathbb {C} }$, die den komplexen Nullstellen ${}M'$ von ${}G$ entsprechen, und daher ist

${}G=\prod _{\sigma }(X-\sigma (z))\,.$

Die ${}n$ Einbettungen ${}\rho _{i}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }$ induzieren jeweils eine Einbettung ${}\sigma _{i}=\rho _{i}{|}_{K}\colon K\rightarrow {\mathbb {C} }$ und somit ist ${}\rho _{i}(z)=\sigma _{i}(z)$, also ${}M\subseteq M'$. Andererseits lässt sich eine Einbettung ${}\sigma \colon K\rightarrow {\mathbb {C} }$ zu einer Einbettung ${}L\rightarrow {\mathbb {C} }$ fortsetzen, da ${}L$ über ${}K$ separabel ist und nach dem Satz vom primitiven Element von einem Element erzeugt wird und das zugehörige Minimalpolynom über ${}{\mathbb {C} }$ zerfällt. Daher ist auch ${}M'\subseteq M$.

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Lemma

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und seien ${}\rho _{i}\colon L\rightarrow {\mathbb {C} }$ die ${}n$ verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei ${}z\in L$ und ${}z_{i}=\rho _{i}(z)$, ${}i=1,\ldots ,n$. Dann ist

$N(z)=z_{1}\cdots z_{n}{\text{ und }}\operatorname {Spur} {\left(z\right)}=z_{1}+\cdots +z_{n}.$

Beweis

Es sei zunächst ${}K=\mathbb {Q} [z]$ vom Grad ${}k$. Nach Fakt ist das Minimalpolynom gleich dem charakteristischen Polynom und nach Fakt ist das Minimalpolynom gleich ${}(X-z_{1})(X-z_{2})\cdots (X-z_{k})$. Der Vergleich des konstanten Koeffizienten und des Koeffizienten zu ${}X^{k-1}$ ergibt die Behauptung.

Im Allgemeinen sei

${}\mathbb {Q} \subseteq K=\mathbb {Q} [z]\subseteq L\,$

und es sei ${}M$ die Matrix über ${}\mathbb {Q}$, die die Multiplikation mit ${}z$ auf ${}K$ bezüglich einer ${}\mathbb {Q}$-Basis ${}y_{1},\ldots ,y_{k}$ beschreibt. Zu einer ${}K$-Basis ${}z_{1},\ldots ,z_{\ell }$ von ${}L$ ist ${}y_{i}z_{j}$ eine ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$, und die Multiplikation mit ${}z$ auf ${}L$ wird durch die Blockmatrix

${\begin{pmatrix}M&0&\ldots &0\\0&M&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&M\end{pmatrix}}$

beschrieben. Deren Spur ist das ${}\ell$-Fache der Spur von ${}M$ und deren Determinante ist die ${}\ell$-te Potenz der Determinante von ${}M$. Ebenso treten die verschiedenen komplexen Zahlen ${}z_{i}$ jeweils ${}\ell$-fach auf.

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