Körpererweiterung/Rein-inseparable Elemente/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Ein Element ${}x\in L$ heißt rein-inseparabel, wenn ${}x$ algebraisch ist und sein Minimalpolynom ${}F$ in jedem Erweiterungskörper nur eine Nullstelle besitzt.

Ein Element ${}x\in L$ , das zu ${}K$ gehört, ist gemäß dieser Definition rein-inseparabel; sein Minimalpolynom ist ja ${}X-x$ . In Charakteristik ${}0$ sind dies auch schon die einzigen rein-inseparablen Elemente. In positiver Charakteristik kann man die folgende Charakterisierung angeben.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper der positiven Charakteristik ${}p>0$ , es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und ${}x\in L$ ein über ${}K$ algebraisches Element.

Dann ist ${}x$ genau dann rein-inseparabel, wenn ${}x^{p^{e}}\in K$ für ein ${}e\in \mathbb {N}$ ist.

Beweis

Es sei ${}x^{p^{e}}=y\in K$ . Dann ist ${}X^{p^{e}}-y=(X-x)^{p^{e}}\in K[X]$ ein Polynom, das ${}x$ annulliert. Dieses Polynom besitzt über ${}K(x)$ die einzige Nullstelle ${}x$ , sodass dies auch für das Minimalpolynom von ${}x$ über ${}K$ gilt, und zwar auch in jedem Erweiterungskörper. Also ist ${}x$ rein-inseparabel.
Es sei nun ${}x$ rein-inseparabel mit dem Minimalpolynom ${}F\in K[X]$ . Nach Fakt gibt es ein irreduzibles separables Polynom ${}G\in K[X]$ und ein ${}e\in \mathbb {N}$ mit ${}F=G(X^{p^{e}})$ . Es sei ${}d$ der Grad von ${}G$ . Es sei ${}K\subseteq M$ der Zerfällungskörper von ${}G$ und ${}G=(X-a_{1}){\cdots }(X-a_{d})$ die Faktorzerlegung von ${}G$ über ${}M$ . Wegen der Separabilität von ${}G$ sind diese Nullstellen verschieden. Bei ${}d>1$ hätte auch ${}F$ verschiedene Nullstellen (in einem geeigneten Erweiterungskörper $M\subseteq M'$ ). Also ist ${}d=1$ und somit ist ${}F=X^{p^{e}}-y$ mit einem ${}y\in K$ .

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Definition

Eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ heißt rein-inseparabel, wenn jedes Element ${}x\in L$ rein-inseparabel über ${}K$ ist.

Lemma

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei ${}x\in L$ ein Element, das sowohl separabel als auch rein-inseparabel über ${}K$ ist.

Dann ist ${}x\in K$ .

Beweis

Es sei ${}F\in K[X]$ das Minimalpolynom von ${}x$ . Dann besitzt ${}F$ wegen der Separabilität in jedem Erweiterungskörper nur einfache Nullstellen, aber wegen der reinen Inseparabilität überhaupt nur eine Nullstelle. Also besitzt ${}F$ den Grad ${}1$ und somit ist ${}x\in K$ .