Körpererweiterung/Rein-inseparable Elemente/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine Körpererweiterung. Ein Element heißt rein-inseparabel, wenn algebraisch ist und sein Minimalpolynom in jedem Erweiterungskörper nur eine Nullstelle besitzt.

Ein Element , das zu gehört, ist gemäß dieser Definition rein-inseparabel; sein Minimalpolynom ist ja . In Charakteristik sind dies auch schon die einzigen rein-inseparablen Elemente. In positiver Charakteristik kann man die folgende Charakterisierung angeben.



Lemma  

Es sei ein Körper der positiven Charakteristik , es sei eine Körpererweiterung und ein über algebraisches Element.

Dann ist genau dann rein-inseparabel, wenn ist für ein .

Beweis  

Es sei . Dann ist ein Polynom, das annulliert. Dieses Polynom besitzt über die einzige Nullstelle , so dass dies auch für das Minimalpolynom von über gilt, und zwar auch in jedem Erweiterungskörper. Also ist rein-inseparabel.
Sei nun rein-inseparabel mit dem Minimalpolynom . Nach Fakt gibt es ein irreduzibles separables Polynom und ein mit . Sei der Grad von . Es sei der Zerfällungskörper von und die Faktorzerlegung von über . Wegen der Separabilität von sind diese Nullstellen verschieden. Bei hätte auch verschiedene Nullstellen (in einem geeigneten Erweiterungskörper ). Also ist und somit ist mit einem .



Definition  

Eine Körpererweiterung heißt rein-inseparabel, wenn jedes Element rein-inseparabel über ist.



Lemma  

Es sei eine Körpererweiterung und es sei ein Element, das sowohl separabel als auch rein-inseparabel über ist.

Dann ist .

Beweis  

Es sei das Minimalpolynom von . Dann besitzt wegen der Separabilität in jedem Erweiterungskörper nur einfache Nullstellen, aber wegen der reinen Inseparabilität überhaupt nur eine Nullstelle. Also besitzt den Grad und somit ist .




Lemma  

Es sei eine endliche Körpererweiterung.

Dann gibt es einen Zwischenkörper

derart, dass separabel und rein-inseparabel ist.

Beweis