Kommutative Ringtheorie/Noethersche Ringe/Endlich erzeugte Moduln sind noethersch/Textabschnitt

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Wir wollen zeigen, das für einen noetherschen Ring und einen endlich erzeugten -Modul jeder -Untermodul wieder endlich erzeugt ist. Solche Moduln nennt man noethersch.


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Dann heißt noethersch, wenn jeder -Untermodul von endlich erzeugt ist.

Für stimmt dies mit der Definition eines noetherschen Ringes überein, da ja die -Untermoduln von gerade die Ideale sind.

In den folgenden Aussagen verwenden wir folgende Sprech- bzw. Schreibweise.


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und seien -Moduln Man nennt ein Diagramm der Form

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln, wenn ein -Untermodul von ist, und wenn ein Restklassenmodul von ist, der isomorph zu ist.

Die Exaktheit bedeutet, dass an jeder Stelle die Beziehung

gilt, wenn die -Modulhomomorphismen bezeichnet.



Lemma  

Sei ein kommutativer Ring und

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln.

Dann ist genau dann noethersch, wenn sowohl als auch noethersch sind.

Beweis  

Sei zunächst noethersch, und ein Untermodul. Dann ist direkt auch ein Untermodul von , also nach Voraussetzung endlich erzeugt. Sei nun ein Untermodul des Restklassenmoduls. Das Urbild von in unter der Restklassenabbildung sei . Dieser Modul ist nach Voraussetzung endlich erzeugt, und die Bilder eines solchen Erzeugendensystems erzeugen auch den Bildmodul .

Seien nun die äußeren Moduln und noethersch, und sei ein Untermodul. Es sei der Bild-Untermodul davon. wird von endlich vielen Elementen erzeugt, und wir können annehmen, dass diese die Bilder von Elementen sind. Betrachte . Dies ist ein Untermodul von , und daher endlich erzeugt, sagen wir von , die wir als Elemente in auffassen. Wir behaupten, dass

ein Erzeugendensystem von bilden. Sei dazu ein beliebiges Element. Dann ist und daher geht das Element rechts auf . Dann gehört es aber zum Kern der Restklassenabbildung, also zu . Andererseits gehört dieses Element auch zu , also zum Durchschnitt , der ja von den erzeugt wird. Also kann man

bzw. schreiben.




Satz  

Sei ein noetherscher kommutativer Ring und ein endlich erzeugter -Modul.

Dann ist ein noetherscher Modul.

Beweis  

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Anzahl der Modulerzeuger von . Bei liegt der Nullmodul vor. Sei . Dann gibt es eine surjektive Abbildung . Nach Fakt ist aber ein Restklassenmodul eines noetherschen Moduls wieder noethersch, und der Ring selbst ist nach Voraussetzung noethersch, also ist noethersch.

Sei nun und die Aussage für kleinere bereits bewiesen. Sei ein Erzeugendensystem von . Wir betrachten den durch erzeugten -Untermodul, den wir mit bezeichnen. Dieser Untermodul gibt Anlass zu einer kurzen exakten Sequenz, nämlich

Hier wird der linke Modul von Elementen erzeugt und ist nach Induktionsvoraussetzung noethersch. Der rechte Modul wird von der Restklasse von , also von einem Element erzeugt, ist also auch noethersch. Nach Fakt ist dann noethersch.