Kommutativer Ring/Spektrum/Zariski-Topologie/Zahlentheoretischer Fokus/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man die Menge der Primideale von ${}R$ das Spektrum von ${}R$, geschrieben

$\operatorname {Spek} {\left(R\right)}.$

Beispiel

Ein Körper hat bekanntlich nur zwei Ideale, nämlich das Einheitsideal ${}K$, das kein Primideal ist, und das Nullideal ${}0$, das ein Primideal ist. Das Spektrum eines Körpers besteht also aus einem einzigen Punkt.

Bei einem Hauptidealbereich besteht das Spektrum aus dem Nullideal ${}0$ und den maximalen Idealen, die von der Form ${}{\mathfrak {m}}=(p)$ mit einem Primelement ${}p$ sind.

Definition

Auf dem Spektrum eines kommutativen Ringes ${}R$ ist die Zariski-Topologie dadurch gegeben, dass zu einer beliebigen Teilmenge ${}T\subseteq R$ die Mengen

${}D(T):={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\left(R\right)}\mid T\not \subseteq {\mathfrak {p}}\right\}}\,$

als offen erklärt werden.

Für einelementige Teilmengen ${}T=\{f\}$ schreiben wir ${}D(f)$ statt ${}D(\{f\})$.

Lemma

Die Zariski-Topologie auf dem Spektrum ${}\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes ${}R$

ist in der Tat eine Topologie.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Wir betrachten das Spektrum stets als topologischen Raum. Die Primideale sind die Punkte dieses Raumes. Die Komplemente der offenen Mengen, also die abgeschlossenen Mengen in der Zariski-Topologie, werden mit

${}V(T)={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}\mid T\subseteq {\mathfrak {p}}\right\}}\,$

bezeichnet. Bei einem Hauptidealbereich ist die Zariski-Topologie besonders einfach, nur das gesamte Spektrum ist abgeschlossen und jede endliche Ansammlung von maximalen Idealen ist abgeschlossen. Dennoch ist auch in diesem Fall die Zariski-Topologie schon hilfreich. Wenn man beispielsweise aus topologischen Gründen weiß, dass eine Teilmenge abgeschlossenen sein muss, so folgt, dass es die gesamte Menge oder aber, dass sie endlich ist.

Beispiel

Für den Polynomring ${}R=K[X]$ in einer Variablen ${}X$ über einem Körper ${}K$ gibt es das Nullideal und die maximalen Ideale. Zu jedem Element ${}a\in K$ gehört die Linearform ${}X-a$ und das davon erzeugte maximale Ideal ${}(X-a)$. Deshalb stellt man sich das Spektrum ${}\operatorname {Spek} {\left(K[X]\right)}$ zunächst als eine ${}K$-Gerade vor, mit dem fetten Punkt zum Nullideal als alles umfassenden Punkt. Bei ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist dies das gesamte Spektrum. Bei einem nicht algebraisch abgeschlossenen Körper kommt noch für jedes normierte irreduzible Polynom ${}P$ vom Grad ${}\geq 2$ das maximale Primideal ${}(P)$ hinzu, das man aber im Bild schlecht skizzieren kann und sich „im Hintergrund“ vorstellt.

Beispiel

So stellt man sich das Spektrum von ${}\mathbb {Z}$ vor. Die Verbindungslinien sollen vermitteln, dass es sich um ein eindimensionales Objekt handelt. Das Nullideal malt man fett, um anzudeuten, dass es sich um einen dichten Punkt handelt.

Die Primideale in ${}\mathbb {Z}$ sind einerseits die maximalen Ideale ${}(p)$, wobei ${}p$ eine Primzahl ist, und andererseits das Nullideal ${}0$. Die maximalen Ideale bilden die abgeschlossenen Punkte von ${}\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$. Das Nullideal ist darin ein weiterer nicht abgeschlossener Punkt. Die einzige abgeschlossene Menge, in der dieser Punkt enthalten ist, ist die ganze Menge. Die abgeschlossenen Mengen in ${}\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$ sind neben der Gesamtmenge die endlichen Teilmengen aus maximalen Idealen.

Man visualisiert ${}\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$ als eine (gedachte Gerade), auf der die Primzahlen diskret liegen, während der Nullpunkt ein fetter Punkt ist, der die gesamte Gerade repräsentiert.

Proposition

Für das Spektrum ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ gelten folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}D(T)=D({\mathfrak {a}})$, wobei ${}{\mathfrak {a}}$ das durch ${}T$ erzeugte Ideal (Radikal) in ${}R$ sei. Man kann sich also bei der Beschreibung der offenen Teilmengen auf die Radikale von ${}R$ beschränken.
2. Für eine Familie ${}{\mathfrak {a}}_{i}$, ${}i\in I$, von Idealen in ${}R$ ist

   ${}\bigcup _{i\in I}D({\mathfrak {a}}_{i})=D{\left(\sum _{i\in I}{\mathfrak {a}}_{i}\right)}\,.$

3. Für eine endliche Familie ${}{\mathfrak {a}}_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$, von Idealen in ${}R$ ist

   ${}\bigcap _{i=1}^{n}D({\mathfrak {a}}_{i})=D{\left(\bigcap _{i=1}^{n}{\mathfrak {a}}_{i}\right)}=D({\mathfrak {a}}_{1}\cdots {\mathfrak {a}}_{n})\,.$

4. Es ist ${}D({\mathfrak {a}})=X$ genau dann, wenn ${}{\mathfrak {a}}$ das Einheitsideal ist.
5. Es ist ${}D({\mathfrak {a}})\subseteq D({\mathfrak {b}})$ genau dann, wenn ${}{\mathfrak {a}}\subseteq \operatorname {rad} {\left({\mathfrak {b}}\right)}$ gilt.
6. Das Spektrum ist genau dann leer, wenn ${}R$ der Nullring ist.
7. Es ist ${}D({\mathfrak {a}})=\emptyset$ genau dann, wenn ${}{\mathfrak {a}}$ nur nilpotente Elemente enthält.
8. Die offenen Mengen ${}D(f)$, ${}f\in R$, bilden eine Basis der Topologie.
9. Eine Familie von offenen Mengen ${}D({\mathfrak {a}}_{i})$, ${}i\in I$, ist genau dann eine Überdeckung von ${}X$, wenn die Ideale ${}{\mathfrak {a}}_{i}$ zusammen das Einheitsideal erzeugen.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$