Kommutativer noetherscher Ring/Hauptidealsatz/Einführung/Textabschnitt

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Der folgende Satz heißt Krullscher Hauptidealsatz.


Satz  

Es sei ein kommutativer noetherscher Ring und .

Dann besitzt jedes Primideal , das oberhalb von liegt und minimal mit dieser Eigenschaft ist, eine Höhe .

Beweis  

Es sei ein minimales Primoberideal. Wir können an lokalisieren. Dann ist zu zeigen, dass ein lokaler noetherscher Ring, in dem das maximale Ideal minimal über einem Element ist, die Dimension oder besitzt. Da eine Primidealkette mit einem Primideal beginnt, können wir weiterhin annehmen, dass ein noetherscher lokaler Integritätsbereich vorliegt. Es sei jetzt angenommen, dass eine Primidealkette

vorliegt und dass minimal über ist. Es ist zu zeigen. Der Restklassenring ist noethersch und besitzt die Dimension , da ja darin das einzige Primideal ist. Somit ist nach Aufgabe der Ring auch artinsch, d.h. jede absteigende Idealkette in wird stationär. Dies bedeutet wiederum, dass jede absteigende Idealkette in oberhalb von stationär wird. Wir betrachten die absteigende Idealkette

in , wobei wir symbolische Potenzen verwenden, und die entsprechende absteigende Kette in . Da dieser Ring artinsch ist, wird diese Kette konstant, d.h. es gibt ein mit

Wir behaupten, dass sogar

gilt, wobei die Inklusion klar ist. Es sei also . Wegen der ersten Gleichung ist

mit . Wegen ist

Die zuletzt bewiesene Gleichheit ergibt modulo die Beziehung

Dies bedeutet wiederum

nach dem Lemma von Nakayama. Dies bedeutet in

Dies ergibt aber, wieder nach einer Version des Lemmas von Nakyama (siehe Aufgabe), zunächst

und, da integer ist,

und somit .


Die im Satz angesprochenen Primideale nennt man auch die minimalen Primoberideale zu . Sie sind typischerweise in keine minimalen Primideale, sondern sie entsprechen den minimalen Primidealen im Restklassenring . Wenn ein noetherscher Integritätsbereich und ist, so bedeutet die Aussage, dass die minimalen Primoberideale zu die Höhe besitzen.



Satz  

Es sei ein kommutativer noetherscher Ring und .

Dann besitzt jedes Primideal , das oberhalb von liegt und minimal mit dieser Eigenschaft ist, eine Höhe .

Beweis  

Wir führen Induktion über , der Fall ist trivial und der Fall ist der Krullsche Hauptidealsatz. Es sei das in Frage stehende Primideal. Wir können zur Lokalisierung übergehen und erhalten einen lokalen noetherschen Ring mit maximalem Ideal , das (als Primideal) minimal über

ist. Insbesondere ist das einzige Primoberideal von . Es ist zu zeigen, dass die Dimension des Ringes höchstens ist. Sei

eine Primidealkette. Es sei so gewählt, dass kein minimales Primideal über , aber ein minimales Primideal über ist. Dabei ist zwischen und . Wir betrachten die Situation modulo . Das Primideal ist in ein minimales Primoberideal zu . Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzt in diesem Ring die Höhe (die Höhe ist wegen der Nichtminimalität ausgeschlossen). Es sei ein minimales Primoberideal

Da minimal über ist, besitzen diese beiden Ideale das gleiche Radikal. D.h. es gibt einen Exponenten derart, dass für alle gilt. Wir schreiben dies für als mit . Wir betrachten das Ideal

Dabei muss ein minimales Primoberideal sein, da ein minimales Primoberideal zu ist. Nach Induktionsvoraussetzung ist die Höhe von höchstens und somit ist die Höhe von höchstens .



Satz  

Es sei ein kommutativer noetherscher Ring und ein Primideal der Höhe .

Dann gibt es Elemente

derart, dass ein minimales Primideal über ist.

Beweis  

Wir führen Induktion nach , bei liegt ein minimales Primideal (über ) vor. Sei und die Aussage für kleinere Höhen bewiesen. Es seien die minimalen Primideale von , die in enthalten sind. Dann gibt es nach Fakt ein

Wir betrachten das Primideal in . Da in nach Konstruktion die minimalen Primideale nicht überleben, besitzt dort eine Höhe . Nach Induktionsvoraussetzung gibt es Elemente , über denen minimal ist. Es seien Repräsentenaten der . Dann ist in minimal über .



Korollar  

Es sei ein noetherscher lokaler Ring der Dimension .

Dann gibt es Elemente mit

Beweis  

Dies folgt direkt aus Fakt.


Elemente nennt man auch Parameter des lokalen Ringes. Geometrisch (d.h. bis auf das Radikal) kann man also in jedem lokalen noetherschen Ring das maximale Ideal durch Elemente beschreiben.