Kompakte Gruppe/Vollständig reduzibel/Hurwitz Schur/Fakt/Beweis

Beweis

Wir zeigen, dass ein ${}G$-Untervektorraum  ${}U\subseteq V$  ein ${}G$-Komplement besitzt, daraus folgt die Aussage wie Fakt aus Fakt. Auch der Beweis ist analog zu Fakt. Es sei

$\pi \colon V\longrightarrow U$

eine lineare Projektion von ${}V$ auf ${}U$. Zu  ${}v\in V$  ist die Abbildung

$G\longrightarrow V,\,g\longmapsto g(\pi (g^{-1}(v))),$

stetig. Wir definieren

${}\psi (v)=\int _{G}g(\pi (g^{-1}(v)))d\mu \,.$

Aufgrund der Linearität von ${}g$ und der Linearität des Integrals ist ${}\psi$ eine lineare Abbildung, deren Bild in ${}U$ liegt, da dies für ${}\pi$ gilt und da ${}U$ ${}G$-invariant ist. Für  ${}u\in U$  ist

${}\psi (u)=\int _{G}g(\pi (g^{-1}(u)))d\mu =\int _{G}g(g^{-1}(u))d\mu =\int _{G}ud\mu =u\,.$

Also ist ${}\psi$ ebenfalls eine lineare Projektion von ${}V$ auf ${}U$. Für beliebige  ${}h\in G$  und  ${}v\in V$  ist aufgrund der Translationsinvarianz (in der zweiten Gleichung) und der Verträglichkeit von Integralen mit linearen Abbildungen im Zielraum (in der vierten Gleichung)

${}{\begin{aligned}\psi (hv)&=\int _{G}g(\pi (g^{-1}(hv)))d\mu \\&=\int _{G}(hg)(\pi ((hg)^{-1}(hv)))d\mu \\&=\int _{G}h{\left(g(\pi (g^{-1}(v)))\right)}d\mu \\&=h{\left(\int _{G}g(\pi (g^{-1}(v)))d\mu \right)}\\&=h\psi (v),\end{aligned}}$

sodass ${}\psi$ mit der Gruppenoperation verträglich ist. Also ist ${}\operatorname {kern} \psi$ nach Fakt ein ${}G$-invarianter Untervektorraum und somit ein ${}G$-Komplement von ${}U$.

Zur bewiesenen Aussage