Kompakte Gruppe/Vollständig reduzibel/Hurwitz Schur/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir zeigen, dass ein -Untervektorraum ein -Komplement besitzt, daraus folgt die Aussage wie Fakt aus Fakt. Auch der Beweis ist analog zu Fakt. Es sei

eine lineare Projektion von auf . Zu ist die Abbildung

stetig. Wir definieren

Aufgrund der Linearität von und der Linearität des Integrals ist eine lineare Abbildung, deren Bild in liegt, da dies für gilt und da -invariant ist. Für ist

Also ist ebenfalls eine lineare Projektion von auf . Für beliebige und ist aufgrund der Translationsinvarianz

so dass mit der Gruppenoperation verträglich ist. Also ist nach Fakt ein -invarianter Untervektorraum und somit ein -Komplement von .

Zur bewiesenen Aussage