Komplettierung/Noetherscher Ring/Flach/Textabschnitt
Lemma
Es sei ein noetherscher Ring und ein Ideal.
Es sei
eine kurze exakte Sequenz von endlich erzeugten -Moduln.
Dann ist die Sequenz
ebenfalls exakt.
Beweis
Satz
Es sei ein noetherscher Ring und ein Ideal. Es sei ein endlich erzeugter -Modul.
Dann ist
wobei bezüglich und bezüglich komplettiert wird.
Beweis
Wir betrachten die natürlichen Abbildungen
von Fakt. Für ist dies ein Isomorphismus. Daraus folgt nach Fakt (3) und Fakt, dass auch für freie Moduln endlichen Ranges ein Isomorphismus vorliegt. Einen beliebigen endlich erzeugten Modul kann man in der Form
repräsentieren, wobei freie Moduln endlichen Ranges sind. Daraus erhalten wir mit Hilfe von Fakt bzw. Fakt die exakten Zeilen im folgenden Diagramm
Es ist zu zeigen, dass die vertikale Abbildung rechts bijektiv ist. Zum Nachweis der Surjektivität sei . Dieses rührt von einem her und dieses entspricht einem . Dessen Bild in wird dann wegen der Kommutativität auf abgebildet.
Zum Nachweis der Injektivität sei ein Element, das auf abgebildet wird. Es gibt ein , das auf abbildet. Dieses entspricht einem . Da dieses auf abbildet, gibt es ein , das auf abbildet. Das entsprechende Element bildet auf ab und daher muss dieses auf abbilden, also ist und die Abbildung ist injektiv.
Korollar
Es sei ein noetherscher lokaler Ring.
Dann ist die Komplettierung ein treuflacher -Modul.
Beweis
Die Flachheit ergibt sich aus Fakt, die Treuheit aus .
Korollar
Es sei ein noetherscher Ring, ein Ideal und ein Nichtnullteiler.
Dann ist in ebenfalls ein Nichtnullteiler.
Beweis
Wegen der Nichtnullteilereigenschaft ist der -Modulhomomorphismus
injektiv. Nach Fakt ist dann die komplettierte Abbildung
ebenfalls injektiv. Dies bedeutet, dass in der Komplettierung ein Nichtnullteiler ist.