Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktionen/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Überblick/Textabschnitt

Die komplexen Zahlen bilden einen zweidimensionalen reellen Vektorraum mit der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$. Entsprechend kann man eine auf einer (zumeist offenen) Teilmenge ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ definerte Funktion ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ auch als eine Abbildung ${}G\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ auffassen und die komplexe Differenzierbarkeit in der einen Variablen ${}z$ mit der reellen partiellen Differenzierbarkeit der beiden Komponentenfunktionen bezüglich den reellen Koordinaten ${}x$ und ${}y$ in Beziehung setzen. Die Bedingungen in der folgenden Aussage heißen die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.

Satz

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine im Punkt ${}P\in G$ reell total differenzierbare Abbildung. Es sei ${}f=g+{\mathrm {i} }h$ mit reellwertigen Funktionen ${}g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Sei ${}z=x+{\mathrm {i} }y$.

Dann ist ${}f$ genau dann in ${}P$ komplex differenzierbar, wenn für die reellen partiellen Ableitungen die Beziehungen

${\frac {\partial g}{\partial y}}(P)=-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P){\text{ und }}{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)={\frac {\partial g}{\partial x}}(P)$

gelten.

Beweis

Die reelle Jacobi-Matrix von ${}(x,y)\mapsto (g(x,y),h(x,y))$ im Punkt ${}P$ ist

${\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}.$

Diese beschreibt eine reell-lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

bezüglich der reellen Basis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ und die komplexe Differenzierbarkeit bedeutet, dass sie auch komplex-linear ist. Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl ${}a+b{\mathrm {i} }$ wird reell durch die Matrix

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}$

beschrieben, und die Bedingungen im Satz beschreiben genau diese Beziehungen.

$\Box$

Bei einer reell differenzierbaren Abbildung

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

ist das totale Differential in einem Punkt ${}P\in {\mathbb {C} }$ eine reell-lineare Abbildung

$\left(Df\right)_{P}\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }.$

Diese wird zumeist durch eine Matrix bezüglich der reellen Standardbasis ${}1$ und ${}{\mathrm {i} }$ beschrieben. Nach Fakt kann man jede reell-lineare Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen in eindeutiger Weise als eine Summe einer komplex-linearen und einer komplex-antilinearen Abbildung schreiben. Im Fall der reellen Differenzierbarkeit setzt man daher

${}{\frac {\partial f}{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\,$

und

${}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}:={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial y}}\,.$

Es gilt dann umgekehrt

${}{\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\,$

und

${}{\frac {\partial f}{\partial y}}={\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial f}{\partial z}}-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\right)}\,.$

Korollar

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine reell total differenzierbare Abbildung.

Genau dann ist ${}f$ auf ${}G$ komplex differenzierbar, wenn ${}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0$ auf ${}G$ gilt.

In diesem Fall ist

${}f'={\frac {\partial f}{\partial z}}\,.$

Beweis

Wir schreiben ${}f=g+h{\mathrm {i} }$ mit reellwertigen Funktionen ${}g,h\colon G\rightarrow \mathbb {R}$. Es ist ${}{\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}$ und ${}{\frac {\partial f}{\partial y}}={\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial f}{\partial z}}-{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}\right)}$. Somit ist

${}{\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial g}{\partial y}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial y}}\right)}\right)}\\&={\frac {1}{2}}{\left({\frac {\partial g}{\partial x}}-{\frac {\partial h}{\partial y}}+{\mathrm {i} }{\left({\frac {\partial h}{\partial x}}+{\frac {\partial g}{\partial y}}\right)}\right)}.\end{aligned}}$

Die Bedingungen in Fakt für die komplexe Differenzierbarkeit besagen gerade, dass die beiden Komponentenfunktionen gleich ${}0$ sind. Es ist generell

${}{\frac {\partial f}{\partial z}}+{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial g}{\partial x}}+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial x}}\,.$

Unter der Voraussetzung verschwindet der vordere zweite Summand. Daher ist ${}{\frac {\partial f}{\partial z}}(P)$ gleich der ersten Spalte der Jacobi-Matrix, und diese ist ${}f'(P)$.

$\Box$

Wenn man für eine reell-differenzierbare Funktion ${}f=g+{\mathrm {i} }h$ zerlegt, so ist

${}{\begin{aligned}\left(Df\right)_{P}&=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(P),\,{\frac {\partial f}{\partial y}}(P)\right)\\&={\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)&{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)&-{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)-{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)&{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)-{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)&{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)\\{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial g}{\partial y}}(P)&-{\frac {\partial g}{\partial x}}(P)+{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

die Zerlegung des totales Differentials bzw. der Jacobi-Matrix in ${}{\mathbb {C} }$-lineare und antilineare Matrizen. Dabei ist ${}f$ genau dann holomorph, wenn die zweite Matrix zur Nullmatrix wird.