Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktionen/Cauchy-Riemann Differentialgleichung/Überblick/Textabschnitt

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Die komplexen Zahlen bilden einen zweidimensionalen reellen Vektorraum mit der reellen Basis und . Entsprechend kann man eine auf einer (zumeist offenen) Teilmenge definerte Funktion auch als eine Abbildung auffassen und die komplexe Differenzierbarkeit in der einen Variablen mit der reellen partiellen Differenzierbarkeit der beiden Komponentenfunktionen bezüglich den reellen Koordinaten und in Beziehung setzen. Die Bedingungen in der folgenden Aussage heißen die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.



Satz  

Es sei offen und eine im Punkt reell total differenzierbare Abbildung. Es sei mit reellwertigen Funktionen . Sei .

Dann ist genau dann in komplex differenzierbar, wenn für die reellen partiellen Ableitungen die Beziehungen

gelten.

Beweis  

Die reelle Jacobi-Matrix von im Punkt ist

Diese beschreibt eine reell-lineare Abbildung

bezüglich der reellen Basis und und die komplexe Differenzierbarkeit bedeutet, dass sie auch komplex-linear ist. Die Multiplikation mit einer komplexen Zahl wird reell durch die Matrix

beschrieben, und die Bedingungen im Satz beschreiben genau diese Beziehungen.


Bei einer reell differenzierbaren Abbildung

ist das totale Differential in einem Punkt eine reell-lineare Abbildung

Diese wird zumeist durch eine Matrix bezüglich der reellen Standardbasis und beschrieben. Nach Fakt kann man jede reell-lineare Abbildung zwischen komplexen Vektorräumen in eindeutiger Weise als eine Summe einer komplex-linearen und einer komplex-antilinearen Abbildung schreiben. Im Fall der reellen Differenzierbarkeit setzt man daher

und

Es gilt dann umgekehrt

und



Korollar  

Es sei offen und eine reell total differenzierbare Abbildung.

Genau dann ist auf komplex differenzierbar, wenn auf gilt.

In diesem Fall ist

Beweis  

Wir schreiben mit reellwertigen Funktionen . Es ist und . Somit ist

Die Bedingungen in Fakt für die komplexe Differenzierbarkeit besagen gerade, dass die beiden Komponentenfunktionen gleich sind. Es ist generell

Unter der Voraussetzung verschwindet der vordere zweite Summand. Daher ist gleich der ersten Spalte der Jacobi-Matrix, und diese ist .


Wenn man für eine reell-differenzierbare Funktion zerlegt, so ist

die Zerlegung des totales Differentials bzw. der Jacobi-Matrix in -lineare und antilineare Matrizen. Dabei ist genau dann holomorph, wenn die zweite Matrix zur Nullmatrix wird.