Komplexe Zahlen/Holomorphe Funktionen/Hauptsätze/Zusammenfassung/Textabschnitt

Wir fassen einige wichtige Ergebnisse der komplexen Funktionentheorie zusammen. In den Anfängervorlesungen werden differenzierbare Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$ bzw. von ${}{\mathbb {C} }$ nach ${}{\mathbb {C} }$ (und höherdimensionale Varianten in Analysis II) in der Regel parallel behandelt, wir verwenden ${}{\mathbb {K} }$ als gemeinsames Symbol für ${}\mathbb {R}$ oder ${}{\mathbb {C} }$. Beispielsweise ist die Definition der Differenzierbarkeit (und zwar egal, ob man mit dem Limes im Sinne von Definition oder mit linearer Approximierbarkeit im Sinne von Fakt arbeitet) unabhängig vom Grundkörper - im reellen Fall ist der Limes über einem Intervall zu nehmen, im komplexen Fall über einer offenen Kreisumgebung. Bei wichtigen Gesetzmäßigkeiten wie der Produktregel, der Quotientenregel, der Kettenregel, der Ableitung der Umkehrfunktion etc. gibt es weder in der Formulierung noch im Beweis einen Unterschied. Es gibt aber auch Aspekte der Differentialrechnung, wo sich die reelle von der komplexen Situation unterscheidet. Die Besonderheiten in der komplexen Situation werden in der (komplexen) Funktionentheorie behandelt. Grundsätzlich kann man sagen, dass die komplexe Differenzierbarkeit sehr viel stärkere Implikationen mit sich führt als die reelle Differenzierbarkeit. Wir erwähnen ohne Beweis einige Hauptresultate der Funktionentheorie, im Reellen ist es sehr einfach, Gegenbeispiele zu diesen Aussagen anzugeben.

Definition

Eine auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte Funktion

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

heißt holomorph, wenn sie komplex differenzierbar ist.

Polynome, rationale Funktionen, die Exponentialfunktion, die trigonometrischen Funktionen sind komplex differenzierbar, also holomorph. Warum ein neuer Begriff? Von holomorph spricht man eigentlich nur dann, wenn der folgende Satz schon bekannt ist und man dann beliebig zwischen den verschiedenen Konzepten hin- und herwechseln kann.

Satz

Für eine auf einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte Funktion

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {C} }$

sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist komplex differenzierbar.
2. ${}f$ ist unendlich oft (stetig) komplex differenzierbar.
3. ${}f$ lässt sich in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln, d.h. ${}f$ ist komplex-analytisch.

Eine diskrete Teilmenge ${}D\subseteq {\mathbb {C} }$ ist eine Teilmenge mit der Eigenschaft, dass es zu jedem Punkt ${}P\in D$ eine Kreisumgebung ${}U{\left(P,r\right)}$ mit ${}U{\left(P,r\right)}\cap D=\{P\}$ gibt. Polynome ${}\neq 0$ besitzen nach Fakt nur endlich viele Nullstellen und endliche Teilmengen sind diskret. Aber auch die trigonometrischen Funktionen und die komplexe Exponentialfunktion besitzen eine diskrete (aber nicht endliche) Nullstellenmenge. Dies gilt für beliebige holomorphe Funktionen.

Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine von der Nullfunktion verschiedene holomorphe Funktion.

Dann ist die Nullstellenmenge von ${}f$ diskret und abgeschlossen (in ${}U$).

Eine zusammenhängende offene Teilmenge in ${}{\mathbb {C} }$ nennt man auch ein Gebiet. Die beiden folgenden Aussagen (die zweite heißt Identitätssatz) folgen daraus unmittelbar.

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion.

Wenn die Nullstellenmenge von ${}f$ einen Häufungspunkt in ${}U$ besitzt, so ist ${}f$ die Nullfunktion.

Beweis

Dies ist eine Umformulierung von Fakt.

$\Box$

Es kann dabei aber durchaus sein, dass die Nullstellenmenge einen Häufungspunkt in ${}{\mathbb {C} }$ besitzt.

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge und seien ${}f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen. Die Übereinstimmungsmenge von ${}f$ und ${}g$, also ${}{\left\{z\in U\mid f(z)=g(z)\right\}}$ besitze einen Häufungspunkt in ${}U$.

Dann ist ${}f=g$.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt, wenn man die Differenz ${}f-g$ betrachtet.

$\Box$

Die beiden folgenden Sätze heißen Maximumsprinzip und Satz von Liouville.

Satz

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei ${}f\colon G\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit der Eigenschaft: Es gebe einen Punkt ${}a\in G$ mit

${}\vert {f(z)}\vert \leq \vert {f(a)}\vert \,$

für alle ${}z\in G$.

Dann ist ${}f$ konstant.

Satz

Es sei ${}f\colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion, die beschränkt sei.

Dann ist ${}f$ konstant.

Beweis

Es sei ${}\vert {f(z)}\vert \leq B$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$. Man kann dann Fakt für die Potenzreihe ${}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}$ (für einen beliebigen Entwicklungspunkt ${}a$) für jeden Radius ${}r$ anwenden und erhält

${}\vert {c_{n}}\vert \leq {\frac {B}{r^{n}}}\,,$

woraus ${}c_{n}=0$ für alle ${}n\geq 1$ folgt.

$\Box$