Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Übersicht zur Restklassenbildung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Restklassenbildung

Restklassenbildung ist ein fundamentaler Prozess in der Algebra, an den wir kurz erinnern.



Satz  

Seien und kommutative Ringe und sei

ein Ringhomomorphismus. Dann ist der Kern

ein Ideal in .

Beweis  

Sei

Wegen . ist . Seien . Das bedeutet und . Dann ist

und daher .

Sei nun und beliebig. Dann ist

also ist .


Man kann umgekehrt zu jedem Ideal einen Ring konstruieren, und zwar zusammen mit einer surjektiven Abbildung

deren Kern gerade das vorgegebene Ideal ist.


Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Zu heißt die Teilmenge

die Nebenklasse von zum Ideal . Jede Teilmenge von dieser Form heißt Nebenklasse zu .

Zwei Elemente definieren genau dann die gleiche Nebenklasse, also , wenn ihre Differenz zum Ideal gehört. Man sagt dann auch, dass und dieselbe Nebenklasse repräsentieren.


Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in . Dann ist der Restklassenring (sprich „R modulo I“) ein kommutativer Ring, der durch folgende Daten festgelegt ist.

  1. Als Menge ist die Menge der Nebenklassen zu .
  2. Durch

    wird eine Addition von Nebenklassen definiert.

  3. Durch

    wird eine Multiplikation von Nebenklassen definiert.

  4. definiert das neutrale Element für die Addition (die Nullklasse).
  5. definiert das neutrale Element für die Multiplikation (die Einsklasse).

Man muss dabei zeigen, dass diese Abbildungen (also Addition und Multiplikation) wohldefiniert sind, d.h. unabhängig vom Repräsentanten, und dass die Ringaxiome erfüllt sind.

Darüber hinaus ist die Abbildung

ein Ringhomomorphismus, die sogenannte Restklassenabbildung. Das Bild von in wird häufig mit , oder einfach mit selbst bezeichnet und heißt die Restklasse von . Bei dieser Abbildung gehen genau die Elemente aus dem Ideal auf null, d.h. der Kern dieser Restklassenabbildung ist das vorgegebene Ideal.

Das einfachste Beispiel für diesen Prozess ist die Abbildung, die einer ganzen Zahl den Rest bei Division durch eine fixierte Zahl zuordnet. Jeder Rest wird dann repräsentiert durch eine der Zahlen . Im Allgemeinen gibt es nicht ein so übersichtliches Repräsentantensystem.

Ein typisches Beispiel, wie man mit Restklassen etwas beweist und wie man Eigenschaften von Elementen (oder anderen Objekten) in Eigenschaften von Restklassen übersetzt, liefert der folgende Satz (wir unterscheiden in der Notation nicht zwischen Klasse und Repräsentant; es sei zur Übung empfohlen, eine unterscheidende Notation einzufügen).



Satz  

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in .

Dann ist ein Primideal genau dann, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.

Beweis  

Sei zunächst ein Primideal. Dann ist insbesondere und somit ist der Restklassenring nicht der Nullring. Sei in wobei durch Elemente in repräsentiert seien. Dann ist und damit oder , was in gerade oder bedeutet.

Ist umgekehrt ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist . Sei . Dann ist in und daher in , also ist .