Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Leveller

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Die folgenden algebraischen Begriffe sollten bereits bekannt sein.


Definition (Ring)  

Ein Ring ist eine Menge mit zwei Verknüpfungen und und mit zwei ausgezeichneten Elementen und derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

  1. ist eine abelsche Gruppe.
  2. ist ein Monoid.
  3. Es gelten die Distributivgesetze, also und für alle .


Definition (Kommutativer Ring)  

Ein Ring heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.


Definition (Ringhomomorphismus)  

Seien und kommutative Ringe. Eine Abbildung

heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

  1. .


Definition (Algebra)  

Seien und kommutative Ringe und sei ein fixierter Ringhomomorphismus. Dann nennt man eine -Algebra.


Definition (Algebrahomomorphismus)  

Seien und kommutative -Algebren über einem kommutativen Grundring . Dann nennt man einen Ringhomomorphismus

einen -Algebrahomomorphismus, wenn er zusätzlich mit den beiden fixierten Ringhomomorphismen und verträglich ist.


Definition (Körper)  

Ein kommutativer Ring heißt Körper, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.


Definition (Einheit in einem Ring)  

Ein Element in einem kommutativen Ring heißt Einheit, wenn es ein Element mit gibt.


Definition (Integritätsbereich)  

Ein kommutativer, nullteilerfreier, von verschiedener Ring heißt Integritätsbereich.


Definition (Ideal)  

Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. .
  2. Für alle ist auch .
  3. Für alle und ist auch .


Definition (Erzeugtes Ideal)  

Zu einer Familie von Elementen , , in einem kommutativen Ring bezeichnet das von den erzeugte Ideal. Es besteht aus allen (endlichen) Linearkombinationen

wobei eine endliche Teilmenge und ist.


Definition (Hauptideal)  

Ein Ideal in einem kommutativen Ring der Form

heißt Hauptideal.


Definition (Hauptidealbereich)  

Ein kommutativer Ring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring. Ein integrer Hauptidealring heißt Hauptidealbereich.


Definition (Faktorieller Bereich)  

Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

  1. Jedes irreduzible Element in ist prim.
  2. Jedes Element , , ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.


Definition (Körpererweiterung)  

Sei ein Körper und ein Unterkörper von . Dann heißt ein Erweiterungskörper (oder Oberkörper) von und die Inklusion heißt eine Körpererweiterung.


Definition (Primideal)  

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Primideal, wenn ist und wenn für mit folgt: oder .


Definition (Maximales Ideal)  

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt maximales Ideal, wenn ist und wenn es zwischen und keine weiteren Ideale gibt.