Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Vorlesung 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Irreduzible Filter}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Kaffeefilter.jpg } }
\end{center}
\bildtext {Einen Filter kann man mit dem, was in ihm hängen bleibt, identifizieren.} }
\bildlizenz { Kaffeefilter.jpg } {Elke Wetzig} {Elya} {Commons} {CC-BY-SA-3.0} {}
Wir haben in der letzten Vorlesung gesehen, dass zu einem Punkt $P$ in einem $K$-Spektrum
\mathl{K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} der Umgebungsfilter gehört und dass der Halm in diesem Filter gleich der Lokalisierung von $R$ an dem zugehörigen maximalen Ideal ist. Ebenfalls haben wir gesehen, dass bei integrem $R$ der Halm über alle nichtleeren offenen Mengen den Quotientenkörper von $R$ liefert, der wiederum die Lokalisierung am Nullideal ist. Dieser Zusammenhang wird mit dem Begriff des irreduziblen Filters verallgemeinert.
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {topologischer Filter}{}{}
$F$ heißt \definitionswort {irreduzibel}{,} wenn
\mathl{\emptyset \not \in F}{} und folgendes gilt: Sind $U,V$ zwei offene Mengen mit
\mathl{U \cup V \in F}{,} so ist
\mathkor {} {U \in F} {oder} {V \in F} {.}
}
Für Zariski-Filter \zusatzklammer {also topologische Filter in der Zariski-Topologie} {} {} gilt folgender Zusammenhang.
\inputfaktbeweis
{K-Spektrum/Irreduzible Filter, Primideale, irreduzible Teilmengen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und sei $R$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{}
mit
$K$-\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
\mathl{X=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{.}}
\faktfolgerung {Dann entsprechen sich folgende Objekte.
\aufzaehlungdrei{\definitionsverweis {Primideale}{}{}
in $R$.
}{\definitionsverweis {Irreduzible}{}{}
\definitionsverweis {abgeschlossene Teilmengen}{}{}
von $X$.
}{\definitionsverweis {Irreduzible Filter}{}{}
in $X$.
}}
\faktzusatz {Dabei entspricht der irreduziblen abgeschlossenen Teilmenge
\mathl{Y \subseteq X}{} der Filter
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F(Y)
}
{ =} { { \left\{ U \subseteq X \mid U \cap Y \neq \emptyset \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der
\definitionsverweis {Halm}{}{}
der Strukturgarbe an diesem Filter ist die Lokalisierung $R_{\mathfrak p}$, wobei ${\mathfrak p}$ das zugehörige Primideal bezeichnet.}
\faktzusatz {}
}
{
Die Korrespondenz zwischen Primidealen und abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen
\zusatzklammer {zu einem Primideal ${\mathfrak p}$ gehört die irreduzible abgeschlossene Teilmenge \mathlk{V({\mathfrak p})}{}} {} {}
ist bekannt
\zusatzklammer {siehe Lemma 4.2
und
Proposition 11.10} {} {.}
Die angegebene Konstruktion zu einer irreduziblen abgeschlossenen Menge $Y$ liefert in der Tat einen irreduziblen Filter. Dabei ist die Irreduzibilität trivial, zu zeigen ist lediglich die Durchschnittseigenschaft eines Filters. Es seien
\mathl{U, V \in F=F(Y)}{,} sodass also
die Durchschnitte
\mathl{Y \cap U}{} und
\mathl{Y \cap V}{} nicht leer sind. Dann ist aber wegen der Irreduzibilität von $Y$ auch der Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (Y \cap U) \cap (Y \cap V)
}
{ =} { Y \cap (U \cap V)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht leer und daher ist
\mathl{U \cap V \in F}{.}
Es sei nun $F$ irgendein irreduzibler topologischer Filter. Wir behaupten, dass das Komplement von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { { \left\{ f \in R \mid D(f)\in F \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Primideal ist. Es ist sofort ein saturiertes multiplikatives System. Es bleibt zu zeigen, dass das Komplement additiv abgeschlossen ist. Es seien dazu
\mathl{h,g \in R}{} mit
\mathl{g+h \in S}{,} also
\mathl{D(g+h) \in F}{.} Dann gehört erst recht
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D(g) \cup D(h)
}
{ =} {D(g,h)
}
{ \supseteq} { D(g+h)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu $F$ und wegen der Irreduzibilität von $F$ ist
\mathl{D(g) \in F}{} oder
\mathl{D(h) \in F}{,} woraus sich
\mathl{g \in S}{} oder $h \in S$ ergibt.
Diese drei Zuordnungen hintereinandergenommen führen dabei immer wieder zum Ausgangsobjekt zurück. Dazu muss man lediglich beachten, dass ein irreduzibler Zariski-Filter durch offene Mengen der Form
\mathl{D(f)}{} erzeugt wird, siehe
Aufgabe 16.1.
Der Zusatz ist ein Spezialfall von
Aufgabe 15.10.
Den zu einer irreduziblen abgeschlossenen Menge gehörenden Filter nennen wir auch den zugehörigen \stichwort {generischen Filter} {} zu $Y$ und den Halm davon den \stichwort {generischen Halm} {} zu $Y$. Ein Spezialfall der Korrespondenz von
Fakt *****
ist die Beziehung zwischen minimalen Primidealen, irreduziblen Komponenten und Ultrafiltern. Auf der anderen Seite hat man die Korrespondenz zwischen maximalen Idealen, Punkten und Umgebungsfiltern.
\zwischenueberschrift{Morphismen zwischen Varietäten}
\inputdefinition
{}
{
Es seien $X$ und $Y$
\definitionsverweis {quasiaffine Varietäten}{}{}
und sei
\maabbdisp {{\psi}} {Y} {X
} {}
eine stetige Abbildung. Dann nennt man ${\psi}$ einen \definitionswort {Morphismus}{}
\zusatzklammer {von quasiaffinen Varietäten} {} {,}
wenn für jede offene Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jede
\definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{}
\mathl{f \in \Gamma (U, {\mathcal O} )}{} gilt, dass die zusammengesetzte Funktion
\mathdisp {f \circ {\psi} : {\psi}^{-1}(U) \longrightarrow U \stackrel{f}{\longrightarrow} {\mathbb A}^{1}_{K}} { }
zu
\mathl{\Gamma ({\psi}^{-1}(U), {\mathcal O} )}{} gehört.
}
\inputbemerkung
{}
{
Ein Morphismus
\maabbdisp {{\psi}} {Y} {X
} {}
induziert also nach Definition zu jeder offenen Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einen
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\tilde{\psi}} { \Gamma (U, {\mathcal O} )} { \Gamma ({\psi}^{-1}(U), {\mathcal O} )
} {,}
Insbesondere gibt es einen \stichwort {globalen Ringhomomorphismus} {}
\maabbdisp {\tilde{\psi}} { \Gamma (X, {\mathcal O} )} { \Gamma ( Y, {\mathcal O} )
} {.}
Sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1
}
{ \subseteq }{ U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
offene Teilmengen in $Y$, so liegt ein kommutatives Diagramm von stetigen Abbildungen vor
\zusatzklammer {wobei die senkrechten Pfeile offene Inklusionen sind} {} {}
\mathdisp {\begin{matrix}
{\psi}^{-1}(U_1) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & U_1
& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ {\psi}^{-1}(U_2) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & U_2
& \!\!\!\!\! , \\ \end{matrix}} { }
das wiederum zu dem kommutativen Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}
\Gamma ({\psi}^{-1}(U_1), {\mathcal O} ) & \stackrel{}{\longleftarrow} & \Gamma (U_1, {\mathcal O} )
& \\
\uparrow & & \uparrow & \\ \Gamma ({\psi}^{-1}(U_2), {\mathcal O} ) & \stackrel{}{\longleftarrow} & \Gamma ( U_2, {\mathcal O} )
& \!\!\!\!\! \\
\end{matrix}} { }
von Ringhomomorphismen führt.
}
Wir fassen einige einfache Eigenschaften von Morphismen zusammen
{K-Spektrum/Morphismus/Verknüpfung/Offene Einbettung/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, und seien
\mathl{U,X,Y,Z}{} quasiaffine Varietäten.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Eine offene Einbettung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ein
\definitionsverweis {Morphismus}{}{.}
} {Sind
\mathl{{\theta}:Z \rightarrow Y}{} und
\mathl{{\psi}:Y \rightarrow X}{} Morphismen, so ist auch die Verknüpfung
\mathl{{\psi} \circ {\theta}}{} ein Morphismus.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
Wichtiger sind die folgenden Eigenschaften.
\inputfaktbeweis
{K-Spektrum/Ringhomomorphismus induziert Morphismus/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
und seien $R$ und $S$ kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebren vom endlichen Typ}{}{}
mit zugehörigen
$K$-\definitionsverweis {Spektren}{}{}
\mathl{X=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{} und
\mathl{Y=K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) }}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die durch einen
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {R} {S
} {}
induzierte
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi^*} { Y} { X
} {}
ein
\definitionsverweis {Morphismus}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir wissen bereits nach
Satz 12.7,
dass
\maabbdisp {} {Y = K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } } {X = K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
} {}
eine stetige Abbildung ist. Es sei
\mathl{U \subseteq X}{} eine offene Teilmenge und
\mathl{V=(\varphi^*)^{-1}(U)}{} das Urbild. Es sei
\mathl{f:U \rightarrow K}{} eine
\definitionsverweis {algebraische Funktion
}{}{}
mit der Hintereinanderschaltung
\mathl{\verknuepfung {\varphi^*} {f}:V \rightarrow K}{.} Wir haben zu zeigen, dass diese Abbildung ebenfalls algebraisch ist. Es sei dazu
\mathl{P \in V}{} ein Punkt mit dem Bildpunkt
\mathl{Q=\varphi^*(P)}{.} Es sei
\mathl{Q \in D(H) \subseteq U}{} und
\mathl{f=G/H}{} auf $D(H)$ mit
\mathl{G,H \in R}{.} Es ist
\mathdisp {P \in (\varphi^*)^{-1}( D(H)) = D( \varphi (H))} { . }
Wir behaupten, dass auf
\mathl{D( \varphi (H))}{} die Gleichheit
\mathl{\verknuepfung {\varphi^*} {f} = \frac{\varphi(G)}{\varphi(H)}}{}
gilt. Dies folgt für
\mathl{\tilde{P} \in D( \varphi (H))}{} aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \verknuepfung {\varphi^*} {f}(\tilde{P})
}
{ =} {f( \varphi^*(\tilde{P}) )
}
{ =} {\frac{G( \varphi^*( \tilde{P} ) )}{H( \varphi^*( \tilde{P}) ) }
}
{ =} {\frac{ ( \varphi(G)) (\tilde{P})}{( \varphi(H)) ( \tilde{P} )}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputbemerkung
{}
{
In der Situation von
Satz 16.6
ist der zu
\mathl{U=D(f)}{} gehörende
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
die natürliche Abbildung
\maabbdisp {} {\Gamma (D(f), {\mathcal O} ) \cong R_f } { \Gamma ((\varphi^*)^{-1}(D(f)), {\mathcal O} ) = \Gamma (D(\varphi(f)), {\mathcal O} ) = S_{\varphi(f)}
} {.}
}
\inputfaktbeweis
{Quasiaffine Varietät/Globale algebraische Funktion/Ist Morphismus nach affiner Geraden/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $U$ eine
\definitionsverweis {quasiaffine Varietät}{}{}
über einem
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossenen Körper}{}{}
$K$ und sei $f \in \Gamma (U, {\mathcal O} )$ eine
\definitionsverweis {algebraische Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann definiert $f$ einen
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
\maabbdisp {f} {U} { {\mathbb A}^{1}_{K} \cong K
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V
}
{ = }{D(s)
}
{ \subseteq }{ {\mathbb A}^{1}_{K}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine offene Teilmenge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{W
}
{ = }{ f^{-1}(V)
}
{ \subseteq }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das Urbild davon. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q
}
{ =} { { \frac{ r }{ s^n } }
}
{ \in} { \Gamma (V, {\mathcal O} )
}
{ =} {K[T]_{ s }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine algebraische Funktion auf $V$. Wir müssen zeigen, dass die Verknüpfung
\mathl{q \circ f}{} eine algebraische Funkion auf $W$ ist. Es sei dazu
\mathl{P \in W}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ G/H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Beschreibung der nach Voraussetzung algebraischen Funktion $f$ in der Umgebung
\mathl{D(H) \ni P}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( q \circ f ) (P)
}
{ =} { q (f(P))
}
{ =} { \frac{r}{s^n} { \left( \frac{G}{H} (P) \right) }
}
{ =} { \frac{ r( G(P)/H(P) )}{(s(G(P)/H(P)))^n}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei ist der Nenner
\mathl{(s(G(P)/H(P)))^n}{} nicht $0$, da
\mathl{f(P) \in D(s)}{} ist, sodass dies eine rationale Darstellung ist.
\inputfaktbeweis
{Quasiaffine Varietät/Morphismus nach affiner Geraden/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $U$ eine quasiaffine Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper, und zwar sei
\mathl{U \subseteq K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }}{,} wobei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$ sei.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine natürliche Bijektion
\maabbeledisp {} {\operatorname{Mor} \,(U, {\mathbb A}^{1}_{K} ) } { \Gamma (U, {\mathcal O} )
} { {\psi} } { \tilde{\psi} (T)
} {,}
wobei $T$ die Variable in
\mathl{K[T]=\Gamma ( {\mathbb A}^{1}_{K} , {\mathcal O} )}{} bezeichnet.}
\faktzusatz {Insbesondere sind Morphismen von $U$ in die affine Gerade durch den globalen Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\psi}} { \Gamma ({\mathbb A}^{1}_{K}, {\mathcal O} ) = K[T] } { \Gamma (U, {\mathcal O} )
} {}
eindeutig bestimmt.}
\faktzusatz {}
}
{
Die Abbildung ist wohldefiniert und surjektiv. Ist nämlich eine globale algebraische Funktion
\mathl{f \in \Gamma (U, {\mathcal O} )}{} gegeben, so ist zunächst
\maabb {f} {U} {K
} {.}
Die Variable $T$, die auf
\mathl{K={\mathbb A}^{1}_{K}}{} der identischen Abbildung entspricht, wird unter
\zusatzklammer {der Verknüpfung mit} {} {}
$f$ auf das Element
\mathl{f \in \Gamma (U, {\mathcal O} )}{} abgebildet. Nach
Lemma 16.8
ist $f$ ein Morphismus.
Die Injektivität ergibt sich, da sowohl der Morphismus als auch die algebraische Funktion durch die zugrunde liegende stetige Abbildung eindeutig festgelegt sind.
\inputfaktbeweis
{Quasiaffine Varietät/Morphismus nach affiner Varietät/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $U$ eine quasiaffine Varietät, und zwar sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei $R$ eine kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossener Körper $K$ sei. Es sei $S$ eine weitere kommutative $K$-Algebra von endlichem Typ.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine natürliche Bijektion
\maabbeledisp {} {\operatorname{Mor} \,(U, K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) } ) } { \operatorname{Hom}^{\rm alg}_{ K } \, { \left( S,\Gamma (U, {\mathcal O} ) \right) }
} {{\psi} } { \tilde{\psi}
} {,}
wobei $\tilde{\psi}$ den zu ${\psi}$ gehörigen globalen Ringhomomorphismus bezeichnet.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Abbildung ist wohldefiniert. Aus
Satz 16.9
folgt, dass die Aussage für
\mathl{S=K[T]}{} richtig ist. Daraus ergibt sich, dass die Aussage für jeden Polynomring
\mathl{K[T_1 , \ldots , T_n]}{} richtig ist, da ein Morphismus nach ${ {\mathbb A}_{ K }^{ n } }$ durch seine Komponenten und ein $K$-Algebrahomomorphismus durch die Einsetzungen für $T_i$ gegeben ist. Es sei nun
\mathl{S=K[T_1, \ldots , T_{n}]/{\mathfrak a}}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) }
}
{ \cong} { V( {\mathfrak a} )
}
{ =} { V
}
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zu einem Morphismus
\maabb {} {U} { K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) }
} {}
ist die Verknüpfung mit der abgeschlossenen Einbettung in den affinen Raum ebenfalls ein Morphismus. D.h. es liegt ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}
\operatorname{Mor} \,(U, K\!-\!\operatorname{Spek}\, { \left( S \right) }) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{Hom}^{\rm alg}_{ K } \, { \left( S,\Gamma (U, {\mathcal O} ) \right) }
& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ \operatorname{Mor} \,(U, { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }) & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \operatorname{Hom}^{\rm alg}_{ K } \, { \left( K[T_1, \ldots , T_{n}],\Gamma (U, {\mathcal O} ) \right) }
& \!\!\!\!\! , \\ \end{matrix}} { }
vor, wobei die untere Abbildung bereits als Bijektion nachgewiesen wurde. Die vertikalen Abbildungen sind injektiv. Wir müssen daher zeigen, dass die untere Abbildung die oberen Teilmengen ineinander überführt.
Ein Morphismus
\maabb {} {U} { { {\mathbb A}_{ K }^{ n } }
} {,}
der
\zusatzklammer {als Abbildung} {} {}
durch $V$ faktorisiert, ist auch ein Morphismus nach $V$. Die Morphismuseigenschaft ist nur für offene Mengen der Form $D(H)$ zu überprüfen,
\mathl{H \in S}{.} Es sei
\mathl{\tilde{H} \in K[T_1, \ldots , T_{n}]}{} ein Repräsentant für $H$. Dann ist
\maabb {} { K[T_1, \ldots , T_{n}]_{\tilde{H} }} { S_H
} {}
surjektiv und damit wird jedes Element aus $S_H$ auf eine algebraische Funktion abgebildet.
Auf der rechten Seite des Diagramms gehört eine Algebrahomomorphismus genau dann zur oberen Menge, wenn ${\mathfrak a}$ zum Kern gehört. Damit folgt die Aussage aus Aufgabe 16.14.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cone_intersects_line.png} }
\end{center}
\bildtext {Nicht jede außerhalb der Gerade auf dem Kegel definierte Funktion lässt sich auf den affinen Raum ohne die Gerade fortsetzen.} }
\bildlizenz { Cone intersects line.png } {} {Pmidden} {Commons} {PD} {}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten den Standardkegel, der als abgeschlossene Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {V(X^2+Y^2-Z^2)
}
{ \subseteq} { { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben sei. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ D(X,Z-Y)
}
{ \subseteq }{ { {\mathbb A}_{ K }^{ 3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die offene Teilmenge mit dem Durchschnitt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V \cap U
}
{ = }{ D(X,Z-Y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {in $V$} {} {,}
der eine offene Menge in $V$ ist. Wir behaupten, dass der zugehörige Ringhomomorphismus
\maabbdisp {} {\Gamma (U, {\mathcal O} ) } { \Gamma (U \cap V, {\mathcal O} )
} {}
nicht surjektiv ist. Das liegt daran, dass links einfach der Polynomring in drei Variablen steht
\zusatzklammer {vergleiche
Aufgabe 14.2} {} {.}
Dagegen ergibt sich aus der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^2
}
{ =} { Z^2-Y^2
}
{ =} {(Z-Y)(Z+Y)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dass es auf
\mathl{U \cap V}{} die algebraische Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{X}{Z-Y}
}
{ =} { \frac{Z+Y}{X}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, die nicht im Bild der Abbildung liegt, da es keine Funktion auf dem ganzen Kegel ist.
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {FiberBundle_2.png} }
\end{center}
\bildtext {Die Fasern einer Abbildung ($M$ ist der Zielbereich, der Definitionsbereich ist die Vereinigung aller Fasern; die Abbildung geht von oben nach unten).} }
\bildlizenz { FiberBundle 2.png } {} {１３２人目'} {ja.wikipedia.org} {CC-BY-SA-3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {Morphismus}{}{}
\maabb {{\psi}} {Y} {X
} {}
zwischen
\definitionsverweis {affinen Varietäten}{}{}
bezeichnet man zu einem Punkt
\mathl{P \in X}{} das Urbild
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\psi}^{-1} (P)
}
{ \subseteq} { Y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als die \definitionswort {Faser}{} über $P$. Als abgeschlossene Menge von $Y$ ist sie selbst eine affine Varietät.
}