Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Definitionsliste

Definition:Ebene affin-algebraische Kurve

Es sei ${}K$ ein Körper. Eine ebene affin-algebraische Kurve über ${}K$ ist das Nullstellengebilde  ${}V(F)\subseteq K^{2}$  eines nicht-konstanten Polynoms ${}F$ in zwei Variablen, also

$F=\sum _{0\leq i,j\leq m}\,a_{ij}X^{i}Y^{j}\,({\text{mit }}a_{ij}\in K).$

D.h. es ist

$V(F)=\left\{(x,y)\in K^{2}\mid F(x,y)=\sum _{0\leq i,j\leq m}\,a_{ij}x^{i}y^{j}=0\right\}\,.$

Definition:Polynomring

Der Polynomring über einem kommutativen Ring ${}R$ besteht aus allen Polynomen

$P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}$

mit ${}a_{i}\in R,\,i=0,\ldots ,n,\,n\in \mathbb {N}$,

und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

definiert ist.

Definition:Algebraisch abgeschlossener Körper

Ein Körper ${}K$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom  ${}F\in K[X]$  eine Nullstelle in ${}K$ besitzt.

Definition:Affiner Raum

Es sei ${}K$ ein Körper. Dann nennt man  ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}=K^{n}$  den affinen Raum über ${}K$ der Dimension ${}n$.

Definition:Nullstellengebilde

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, ${}j\in J$, eine Familie von Polynomen in ${}n$ Variablen. Dann nennt man

$\left\{P\in {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\mid F_{j}(P)=0{\text{ für alle }}j\in J\right\}$

das durch die Familie definierte Nullstellengebilde (oder Nullstellenmenge). Es wird mit ${}V(F_{j},j\in J)$ bezeichnet.

Definition:Affin-algebraische Mengen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring in ${}n$ Variablen. Dann heißt eine Teilmenge  ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  im affinen Raum affin-algebraisch, wenn sie die Nullstellenmenge zu einer Familie ${}F_{j}$, ${}j\in J$, von Polynomen  ${}F_{j}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ist, wenn also  ${}V=V(F_{j},j\in J)$  gilt.

Definition:Zariski-Topologie

In einem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ versteht man unter der Zariski-Topologie diejenige Topologie, bei der die affin-algebraischen Mengen als abgeschlossen erklärt werden.

Definition:Verschwindungsideal

Es sei  ${}T\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  eine Teilmenge. Dann nennt man

$\left\{F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\mid F(P)=0{\text{ für alle }}P\in T\right\}$

das Verschwindungsideal zu ${}T$. Es wird mit ${}\operatorname {Id} \,(T)$ bezeichnet.

Definition:Radikal

Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt Radikal (oder Radikalideal), wenn folgendes gilt: Falls  ${}f^{n}\in {\mathfrak {a}}$  ist für ein  ${}n\in \mathbb {N}$,  so ist bereits  ${}f\in {\mathfrak {a}}$. 

Definition:Radikal zu einem Ideal

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$  ein Ideal. Dann nennt man die Menge

$\left\{f\in R\mid {\text{es gibt ein }}r{\text{ mit }}f^{r}\in {\mathfrak {a}}\right\}$

das Radikal zu ${}{\mathfrak {a}}$. Es wird mit ${}\operatorname {rad} {\left({\mathfrak {a}}\right)}$ bezeichnet.

Definition:Irreduzible affin-algebraische Menge

Eine affin-algebraische Menge  ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  heißt irreduzibel, wenn  ${}V\neq \emptyset$  ist und es keine Zerlegung  ${}V=Y\cup Z$  mit affin-algebraischen Mengen  ${}Y,Z\subset V$  gibt.

Definition:Irreduzible Komponente

Es sei ${}V$ eine affin-algebraische Menge. Eine affin-algebraische Teilmenge  ${}W\subseteq V$  heißt eine irreduzible Komponente von ${}V$, wenn sie irreduzibel ist und wenn es keine irreduzible Teilmenge  ${}W\subset W'\subseteq V$  gibt.

Definition:Rationaler Funktionenkörper

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X]$ der Polynomring in einer Variablen über ${}K$. Dann nennt man den Quotientenkörper ${}Q(K[X])$ den rationalen Funktionenkörper über ${}K$ (oder Körper der rationalen Funktionen über ${}K$). Er wird mit ${}K(X)$ bezeichnet.

Definition:Grad von Monomen und Polynomen

Es sei ${}S$ ein kommutativer Ring und  ${}R=S[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  der Polynomring über ${}S$ in ${}n$ Variablen. Dann heißt zu einem Monom

${}G=X^{\nu }=X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}}\,$

die Zahl

${}|\nu |=\sum _{j=1}^{n}\nu _{j}\,$

der Grad von ${}G$. Zu einem Polynom  ${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }\neq 0$  heißt das Maximum

$\max\{|\nu |:\,a_{\nu }\neq 0\}$

der Grad von ${}F$.

Definition:Homogene Komponenten und homogene Polynome

Es sei ${}S$ ein kommutativer Ring und  ${}R=S[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  der Polynomring über ${}S$ in ${}n$ Variablen. Zu einem Polynom  ${}F\in R$  mit  ${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }X^{\nu }$  heißt die Zerlegung

${}F=\sum _{i=0}^{d}F_{i}\,$

mit

${}F_{i}=\sum _{\nu ,\,|\nu |=i}a_{\nu }X^{\nu }\,$

die homogene Zerlegung von ${}F$. Die ${}F_{i}$ nennt man die homogenen Komponenten von ${}F$ zum Grad ${}i$. Das Polynom ${}F$ selbst heißt homogen, wenn in der homogenen Zerlegung von ${}F$ nur ein ${}F_{i}$ vorkommt.

Definition:Affin-lineare Variablentransformation

Es sei ${}K$ ein Körper. Dann nennt man eine Abbildung ${}\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ der Form

${}\varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}+(v_{1},\ldots ,v_{n})\,,$

wobei ${}M$ eine invertierbare Matrix ist, eine affin-lineare Variablentransformation .

Definition:Affin-linear äquivalent

Zwei affin-algebraische Mengen  ${}V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  heißen affin-linear äquivalent, wenn es eine affin-lineare Variablentransformation ${}\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit

${}\varphi ^{-1}(V)={\tilde {V}}\,$

gibt.

Definition:Rationale Parametrisierung

Zwei rationale Funktionen  ${}\varphi _{1}={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}$  und  ${}\varphi _{2}={\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$  mit ${}P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}\in K[T]$, ${}Q_{1},Q_{2}\neq 0$, heißen eine rationale Parametrisierung einer algebraischen Kurve  ${}C=V(F)$  (${}F\in K[X,Y]$ nicht konstant), wenn

${}F(\varphi _{1}(T),\varphi _{2}(T))=0\,$

ist und ${}(\varphi _{1},\varphi _{2})$ nicht konstant ist.

Definition:Rationale Kurve

Eine ebene algebraische Kurve  ${}C=V(F)$  heißt rational, wenn sie irreduzibel ist und es eine rationale Parametrisierung für sie gibt.

Definition:Homogenisierung eines Polynoms

Es sei ${}F\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, ${}F\neq 0$, ein Polynom in ${}n$ Variablen mit der homogenen Zerlegung

${}F=\sum _{i=0}^{d}F_{i}\,$

und sei ${}Z$ eine weitere Variable. Dann nennt man das homogene Polynom

${}{\hat {F}}=\sum _{i=0}^{d}F_{i}Z^{d-i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]\,$

vom Grad ${}d$ die Homogenisierung von ${}F$.

Definition:Kegelschnitt

Ein Kegelschnitt ${}C$ ist der Durchschnitt des Standardkegels ${}V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})$ mit einer affinen Ebene ${}V(aX+bY+cZ+d)$ (nicht alle ${}a,b,c=0$), also

${}C=V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})\cap V(aX+bY+cZ+d)\,.$

Definition:Quadrik

Ein Polynom der Form

$F=\alpha X^{2}+\beta XY+\gamma Y^{2}+\delta X+\epsilon Y+\eta {\text{ mit }}\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon ,\eta \in K,$

wobei mindestens einer der Koeffizienten ${}\alpha ,\beta ,\gamma$ ungleich null ist, heißt eine quadratische Form in zwei Variablen (über ${}K$) oder eine Quadrik in zwei Variablen. Das zugehörige Nullstellengebilde

${}V(F)\subseteq {\mathbb {A} }_{K}^{2}\,$

nennt man ebenfalls Quadrik.

Definition:Noetherscher Ring

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.

Definition:Algebra von endlichem Typ

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine ${}R$- Algebra ${}A$ heißt von endlichem Typ (oder endlich erzeugt), wenn sie die Form

${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}\,$

besitzt.

Definition:Modul

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}M=(M,+,0)$  eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt ${}M$ einen ${}R$-Modul, wenn eine Operation

$R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien ${}r,s\in R$ und ${}u,v\in M$ beliebig):

1.  ${}r(su)=(rs)u$, 
2.  ${}r(u+v)=(ru)+(rv)$, 
3.  ${}(r+s)u=(ru)+(su)$, 
4.  ${}1u=u$. 

Definition:Untermodul

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Eine Teilmenge  ${}U\subseteq M$  heißt ${}R$-Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ${}(M,0,+)$ ist und wenn für jedes  ${}u\in U$  und  ${}r\in R$  auch  ${}ru\in U$  ist.

Definition:Erzeugendensystem (Modul)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Eine Familie ${}v_{i}\in M$, ${}i\in I$, heißt Erzeugendensystem für ${}M$, wenn es für jedes Element  ${}v\in M$  eine Darstellung

${}v=\sum _{i\in J}r_{i}v_{i}\,$

gibt, wobei  ${}J\subseteq I$  endlich ist und  ${}r_{i}\in R$. 

Definition:Endlicher Modul

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Der Modul ${}M$ heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem ${}v_{i}$, ${}i\in I$, für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).

Definition:Noetherscher Modul

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Dann heißt ${}M$ noethersch, wenn jeder ${}R$- Untermodul von ${}M$ endlich erzeugt ist.

Definition:Kurze exakte Sequenz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}M_{1},M_{2},M_{3}$ ${}R$- Moduln. Man nennt ein Diagramm der Form

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M_{1}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M_{2}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,M_{3}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

eine kurze exakte Sequenz von ${}R$-Moduln, wenn ${}M_{1}$ ein ${}R$-Untermodul von ${}M_{2}$ ist, und wenn ${}M_{3}$ ein Restklassenmodul von ${}M_{2}$ ist, der isomorph zu ${}M_{2}/M_{1}$ ist.

Definition:Koordinatenring

Zu einer affin-algebraischen Menge  ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$  mit Verschwindungsideal ${}\operatorname {Id} \,(V)$ nennt man  ${}R(V)=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)$  den Koordinatenring von ${}V$.

Definition:K-Spektrum

Zu einer kommutativen ${}K$- Algebra ${}R$ von endlichem Typ bezeichnet man die Menge der ${}K$- Algebrahomomorphismen

$\operatorname {Hom} _{K}(R,K)$

als das ${}K$-Spektrum von ${}R$. Es wird mit ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ bezeichnet.

Definition:Multiplikatives System

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Eine Teilmenge  ${}S\subseteq R$  heißt multiplikatives System, wenn die beiden Eigenschaften

1.  ${}1\in S$, 
2. Wenn  ${}f,g\in S$,  dann ist auch  ${}fg\in S$, 

gelten.

Definition:Nenneraufnahme

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und sei  ${}S\subseteq R$  ein multiplikatives System,  ${}0\notin S$.  Dann nennt man den Unterring

${}R_{S}:=\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\in S\right\}\subseteq Q(R)\,$

die Nenneraufnahme zu ${}S$.

Definition:Idempotentes Element

Ein Element ${}e$ eines kommutativen Ringes heißt idempotent, wenn  ${}e^{2}=e$  gilt.

Definition:Produktring

Es seien ${}R_{1},\ldots ,R_{n}$ kommutative Ringe. Dann heißt das Produkt

$R_{1}\times \cdots \times R_{n},$

versehen mit komponentenweiser Addition und Multiplikation, der Produktring der ${}R_{i}$, ${}i=1,\ldots ,n$.

Definition:Zusammenhängender Ring

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt zusammenhängend, wenn er genau zwei idempotente Elemente (nämlich $0\neq 1$) enthält.

Definition:Zusammenhängender topologischer Raum

Ein topologischer Raum ${}X$ heißt zusammenhängend, wenn es in ${}X$ genau zwei Teilmengen gibt (nämlich ${}\emptyset$ und der Gesamtraum $X\neq \emptyset$), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.

Definition:Algebraische Funktionen

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}R$ eine ${}K$- Algebra von endlichem Typ und sei  ${}V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$  das ${}K$- Spektrum von ${}R$. Es sei  ${}P\in V$  ein Punkt,  ${}U\subseteq V$  eine Zariski-offene Menge mit  ${}P\in U$  und es sei ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}=K$ eine Funktion. Dann heißt ${}f$ algebraisch (oder regulär oder polynomial) im Punkt ${}P$, wenn es Elemente  ${}G,H\in R$  gibt mit  ${}P\in D(H)\subseteq U$  und mit

$f(Q)={\frac {G(Q)}{H(Q)}}{\text{ für alle }}Q\in D(H).$

Die Funktion ${}f$ heißt algebraisch (oder algebraisch auf ${}U$ ), wenn ${}f$ in jedem Punkt von ${}U$ algebraisch ist.

Definition:Ring der algebraischen Funktionen

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, ${}R$ eine ${}K$- Algebra von endlichem Typ und sei  ${}V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$  das ${}K$- Spektrum von ${}R$. Es sei  ${}U\subseteq V$  eine Zariski-offene Menge. Dann bezeichnet man mit

${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})=\left\{f:U\longrightarrow K\mid f{\text{ ist algebraisch}}\right\}\,$

den Ring der algebraischen Funktionen auf ${}U$. Man bezeichnet ihn auch als Strukturring zu ${}U$ oder als Schnittring zu ${}U$.

Definition:Affine Varietät

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei ${}R$ eine ${}K$- Algebra von endlichem Typ. Dann nennt man das ${}K$- Spektrum  ${}V=K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$  von ${}R$, wobei alle Zariski-offenen Mengen  ${}U\subseteq V$  mit dem Ring der algebraischen Funktionen ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})$ versehen seien, eine affine Varietät.

Definition:Lokaler Ring

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt lokal, wenn ${}R$ genau ein maximales Ideal besitzt.

Definition:Lokalisierung

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal. Dann nennt man die Nenneraufnahme an  ${}S=R\setminus {\mathfrak {p}}$  die Lokalisierung von ${}R$ an ${}{\mathfrak {p}}$. Man schreibt dafür ${}R_{\mathfrak {p}}$. Es ist also

${}R_{\mathfrak {p}}:=\left\{{\frac {f}{g}}\mid f\in R,\,g\not \in {\mathfrak {p}}\right\}\,.$

Definition:Topologischer Filter

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Ein System ${}F$ aus offenen Teilmengen von ${}X$ heißt Filter, wenn folgende Eigenschaften gelten ($U,V$ seien offen).

1.  ${}X\in F$. 
2. Mit  ${}U\in F$  und  ${}U\subseteq V$  ist auch  ${}V\in F$. 
3. Mit  ${}U\in F$  und  ${}V\in F$  ist auch  ${}U\cap V\in F$. 

Definition:Umgebungsfilter

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und sei  ${}M\subseteq X$  eine Teilmenge. Dann nennt man das System

${}U(M)=\left\{U\subseteq X{\text{ offen }}\mid M\subseteq U\right\}\,$

den Umgebungsfilter von ${}M$.

Definition:Gerichtete Menge

Eine geordnete Menge ${}(I,\preccurlyeq )$ heißt gerichtet geordnet oder gerichtet, wenn es zu jedem  ${}i,j\in I$  ein  ${}k\in I$  mit  ${}i,j\preccurlyeq k$  gibt.

Definition:Gerichtetes System

Es sei ${}(I,\preccurlyeq )$ eine geordnete Indexmenge. Eine Familie

$M_{i},\,i\in I,$

von Mengen nennt man ein geordnetes System von Mengen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Zu ${}i\preccurlyeq j$ gibt es eine Abbildung ${}\varphi _{ij}\colon M_{i}\rightarrow M_{j}$.
2. Zu  ${}i\preccurlyeq j$  und  ${}j\preccurlyeq k$  ist  ${}\varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}$. 

Ist die Indexmenge zusätzlich gerichtet, so spricht man von einem gerichteten System von Mengen.

Definition:Kolimes

Es sei ${}M_{i}$, ${}i\in I$, ein gerichtetes System von Mengen. Dann nennt man

${}\operatorname {colim} \,_{i\in I}M_{i}=\biguplus _{i\in I}M_{i}/\sim \,$

den Kolimes (oder direkten oder induktiven Limes) des Systems. Dabei bezeichnet ${}\sim$ die Äquivalenzrelation, bei der zwei Elemente  ${}m\in M_{i}$  und  ${}n\in M_{j}$  als äquivalent erklärt werden, wenn es ein  ${}k\in I$  mit  ${}i,j\preccurlyeq k$  und mit

${}\varphi _{ik}(m)=\varphi _{jk}(n)\,$

gibt.

Definition:Halm der Strukturgarbe

Es sei ${}(V,{\mathcal {O}})$ eine quasiaffine Varietät und sei ${}F$ ein topologischer Filter in ${}V$. Dann nennt man

${}{\mathcal {O}}_{F}=\operatorname {colim} \,_{U\in F}\Gamma (U,{\mathcal {O}})\,$

den Halm von ${}{\mathcal {O}}$ in ${}F$.

Definition:Funktionenkörper

Es sei ${}V$ eine irreduzible quasiaffine Varietät. Dann ist der Halm von ${}{\mathcal {O}}_{V}$ über alle nichtleeren offenen Mengen von ${}V$ ein Körper, den man den Funktionenkörper von ${}V$ nennt.

Definition:Irreduzibler Filter

Ein topologischer Filter ${}F$ heißt irreduzibel, wenn  ${}\emptyset \notin F$  und folgendes gilt: Sind ${}U,V$ zwei offene Mengen mit  ${}U\cup V\in F$,  so ist ${}U\in F$ oder ${}V\in F$.

Definition:Morphismus

Es seien ${}X$ und ${}Y$ quasiaffine Varietäten und sei

${\psi }\colon Y\longrightarrow X$

eine stetige Abbildung. Dann nennt man ${}{\psi }$ einen Morphismus (von quasiaffinen Varietäten), wenn für jede offene Teilmenge  ${}U\subseteq X$  und jede algebraische Funktion  ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}})$  gilt, dass die zusammengesetzte Funktion

$f\circ {\psi }:{\psi }^{-1}(U)\longrightarrow U{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$

zu ${}\Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}})$ gehört.

Definition:Faser

Zu einem Morphismus ${}{\psi }\colon Y\rightarrow X$ zwischen affinen Varietäten bezeichnet man zu einem Punkt  ${}P\in X$  das Urbild

${}{\psi }^{-1}(P)\subseteq Y\,$

als die Faser über ${}P$. Als abgeschlossene Menge von ${}Y$ ist sie selbst eine affine Varietät.

Definition:Monoidring

Es sei ${}M$ ein kommutatives (additiv geschriebenes) Monoid und ${}R$ ein kommutativer Ring. Dann wird der Monoidring ${}R[M]$ wie folgt konstruiert. Als ${}R$- Modul ist

${}R[M]=\bigoplus _{m\in M}Re_{m}\,,$

d.h. ${}R[M]$ ist der freie Modul mit Basis ${}e_{m}$, ${}m\in M$. Die Multiplikation wird auf den Basiselementen durch

${}e_{m}\cdot e_{k}:=e_{m+k}\,$

definiert und auf ganz ${}R[M]$ distributiv fortgesetzt. Dabei definiert das neutrale Element  ${}0\in M$  das neutrale Element  ${}1=e_{0}$  der Multiplikation.

Definition:Wertiger Punkt (Monoid)

Zu einem kommutativen Monoid ${}M$ und einem kommutativen Ring ${}R$ nennt man einen Monoidhomomorphismus

$M\longrightarrow (R,\cdot ,1)$

auch einen ${}R$-wertigen Punkt von ${}M$.

Definition:Differenzengruppe

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Dann nennt man die Menge der formalen Differenzen

${}\Gamma (M)=\left\{m-n\mid m,n\in M\right\}\,$

mit der Addition

${}{\left(m_{1}-n_{1}\right)}+{\left(m_{2}-n_{2}\right)}:={\left(m_{1}+m_{2}\right)}-{\left(n_{1}+n_{2}\right)}\,$

und der Identifikation

$m_{1}-n_{1}=m_{2}-n_{2}\,{\text{ falls es ein }}m\in M{\text{ gibt mit }}m+m_{1}+n_{2}=m+m_{2}+n_{1}.$

die Differenzengruppe zu ${}M$.

Definition:Kürzungsregel (Monoid)

Man sagt, dass in einem kommutativen Monoid ${}M$ die Kürzungsregel gilt (oder dass ${}M$ ein Monoid mit Kürzungsregel ist), wenn aus einer Gleichung

$m+n=m+k{\text{ mit }}m,n,k\in M,$

stets  ${}n=k$  folgt.

Definition:Monomiale Kurve

Eine monomiale Kurve ist das Bild der affinen Geraden ${}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$ unter einer Abbildung der Form

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,t\longmapsto \left(t^{e_{1}},\,\ldots ,\,t^{e_{n}}\right),$

mit  ${}e_{i}\geq 1$  für alle ${}i$.

Definition:Führungszahl

Es sei  ${}M\subseteq \mathbb {N}$  ein durch teilerfremde Erzeuger definiertes numerisches Monoid. Dann nennt man die minimale Zahl ${}f$ mit  ${}\mathbb {N} _{\geq f}\subseteq M$  die Führungszahl von ${}M$.

Definition:Numerischer Singularitätsgrad

Es sei  ${}M\subseteq \mathbb {N}$  ein durch teilerfremde Erzeuger definiertes numerisches Monoid. Dann nennt man die Anzahl der Lücken, d.h. der natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N} \setminus M$, den Singularitätsgrad von ${}M$, geschrieben ${}\delta (M)$.

Definition:Numerische Einbettungsdimension

Es sei  ${}M\subseteq \mathbb {N}$  ein numerisches Monoid mit teilerfremden Erzeugern. Dann nennt man die minimale Anzahl von Elementen in einem Erzeugendensystem für ${}M$ die Einbettungsdimension von ${}M$.

Definition:Multiplizität (numerisches Monoid)

Es sei  ${}M\subseteq \mathbb {N}$  ein durch teilerfremde Erzeuger definiertes numerisches Monoid. Dann nennt man das minimale positive Element ${}e\in M$, ${}e\geq 1$, die Multiplizität von ${}M$, geschrieben ${}e(M)$.

Definition:Ganzheitsgleichung

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei  ${}R\subseteq S$  eine Ringerweiterung. Für ein Element  ${}x\in S$  heißt eine Gleichung der Form

${}x^{n}+r_{n-1}x^{n-1}+r_{n-2}x^{n-2}+\cdots +r_{1}x+r_{0}=0\,,$

wobei die Koeffizienten $r_{i},\,i=0,\ldots ,n-1$, zu ${}R$ gehören, eine Ganzheitsgleichung für ${}x$.

Definition:Ganzes Element

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und  ${}R\subseteq S$  eine Ringerweiterung. Ein Element  ${}x\in S$  heißt ganz (über ${}R$), wenn ${}x$ eine Ganzheitsgleichung mit Koeffizienten aus ${}R$ erfüllt.

Definition:Ganzer Abschluss

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und  ${}R\subseteq S$  eine Ringerweiterung. Dann nennt man die Menge der Elemente  ${}x\in S$,  die ganz über ${}R$ sind, den ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}S$.

Definition:Ganze Ringerweiterung

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei  ${}R\subseteq S$  eine Ringerweiterung. Dann heißt ${}S$ ganz über ${}R$, wenn jedes Element  ${}x\in S$  ganz über ${}R$ ist.

Definition:Ganz-abgeschlossen

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und  ${}R\subseteq S$  eine Ringerweiterung. Man nennt ${}R$ ganz-abgeschlossen in ${}S$, wenn der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}S$ gleich ${}R$ ist.

Definition:Normal

Ein Integritätsbereich heißt normal, wenn er ganz-abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.

Definition:Normalisierung

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}Q(R)$ sein Quotientenkörper. Dann nennt man den ganzen Abschluss von ${}R$ in ${}Q(R)$ die Normalisierung von ${}R$.

Definition:Torsionsfreies Monoid

Ein kommutatives Monoid ${}M$ heißt torsionsfrei, wenn für  ${}m,n\in M$  aus  ${}rm=rn$  für eine positive Zahl  ${}r\in \mathbb {N} _{+}$  stets  ${}m=n$  folgt.

Definition:Normalisierung von Monoiden

Es sei ${}M$ ein torsionsfreies kommutatives Monoid mit Kürzungsregel und mit zugehöriger Differenzengruppe ${}\Gamma (M)$. Dann heißt das Untermonoid

${}{\tilde {M}}=\left\{m\in \Gamma (M)\mid {\text{ es gibt }}r\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}rm\in M\right\}\,$

die Normalisierung von ${}M$.

Definition:Diskreter Bewertungsring

Ein diskreter Bewertungsring ${}R$ ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in ${}R$ gibt.

Definition:Ordnung (diskreter Bewertungsring)

Zu einem Element $f\in R,\,f\neq 0$, in einem diskreten Bewertungsring ${}R$ mit Primelement ${}p$ heißt die Zahl  ${}n\in \mathbb {N}$  mit der Eigenschaft  ${}f=up^{n}$,  wobei ${}u$ eine Einheit bezeichnet, die Ordnung von ${}f$. Sie wird mit ${}\operatorname {ord} \,{\left(f\right)}$ bezeichnet.

Definition:Einbettungsdimension

Es sei ${}R$ ein lokaler kommutativer noetherscher Ring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}$. Dann heißt die minimale Idealerzeugendenzahl für ${}{\mathfrak {m}}$ die Einbettungsdimension von ${}R$, geschrieben

$\operatorname {embdim} \,(R).$

Definition:Glatter Punkt (ebene Kurve)

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}F\in K[X,Y]$  ein von ${}0$ verschiedenes Polynom. Es sei  ${}P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$  ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve. Dann heißt ${}P$ ein glatter Punkt von ${}C$, wenn

${\frac {\partial F}{\partial X}}(P)\neq 0{\text{ oder }}{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P)\neq 0$

gilt. Andernfalls heißt der Punkt singulär.

Definition:Multiplizität

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei  ${}F\in K[X,Y]$  ein von ${}0$ verschiedenes Polynom. Es sei  ${}P\in C=V(F)\subset {\mathbb {A} }_{K}^{2}$  ein Punkt der zugehörigen affinen ebenen Kurve, der (nach einer linearen Variablentransformation) der Nullpunkt sei. Es sei

${}F=F_{d}+F_{d-1}+\cdots +F_{m}\,$

die homogene Zerlegung von ${}F$ mit ${}F_{d}\neq 0$ und ${}F_{m}\neq 0$,  ${}d\geq m$.  Dann heißt ${}m$ die Multiplizität der Kurve im Punkt ${}P$. Es sei  ${}F_{m}=G_{1}\cdots G_{m}$  die Zerlegung in lineare Faktoren. Dann nennt man jede Gerade $V(G_{i}),\,i=1,\ldots ,m$, eine Tangente an ${}C$ im Punkt ${}P$. Die Vielfachheit von ${}G_{i}$ in ${}F_{m}$ nennt man auch die Multiplizität der Tangente.

Definition:Formale Potenzreihe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}T_{1},\ldots ,T_{n}$ eine Menge von Variablen. Eine formale Potenzreihe ist ein Ausdruck der Form

${}F=\sum _{\nu }a_{\nu }T^{\nu }=\sum _{\nu }a_{\nu }T_{1}^{\nu _{1}}\cdots T_{n}^{\nu _{n}}\,,$

wobei  ${}a_{\nu }\in R$  für alle  ${}\nu =(\nu _{1},\ldots ,\nu _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$  ist.

Definition:Potenzreihenring

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Dann bezeichnet man mit

$R[[X_{1},\ldots ,X_{n}]]$

den Potenzreihenring in ${}n$ Variablen (oder den Ring der formalen Potenzreihen in ${}n$ Variablen).

Definition:Einsetzen von Potenzreihen

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}F={\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\in K[\![T]\!]$  eine Potenzreihe. Es sei  ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$  eine weitere Potenzreihe mit konstantem Term ${}0$. Dann nennt man die Potenzreihe

${}{\begin{aligned}F(G)&=a_{0}+a_{1}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}+a_{2}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{2}+a_{3}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}^{3}+\ldots \\&={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}T^{k}\end{aligned}}$

die eingesetzte Potenzreihe. Ihre Koeffizienten sind durch (${}c_{0}=a_{0}$ und)

${}c_{k}=\sum _{s=0}^{k}a_{s}{\left(\sum _{j_{1}+\cdots +j_{s}=k}b_{j_{1}}\cdots b_{j_{s}}\right)}\,$

festgelegt. Hierbei wird über alle geordneten ${}s$-Tupel  ${}(j_{1},\ldots ,j_{s})\in \mathbb {N} _{+}^{s}$  summiert.

Definition:Schnittmultiplizität

Es sei ${}K$ ein Körper und seien  ${}F,G\in K[X,Y]$  zwei nichtkonstante Polynome ohne gemeinsame Komponente und sei

${}P\in V(F)\cap V(G)=V(F,G)\,.$

Dann nennt man die Dimension

$\dim _{K}{\left(K[X,Y]_{P}/(F,G)\right)}$

die Schnittmultiplizität der beiden Kurven ${}V(F)$ und ${}V(G)$ im Punkt ${}P$. Sie wird mit

$\operatorname {mult} _{P}(F,G){\text{ oder mit }}\operatorname {mult} _{P}(V(F),V(G))$

bezeichnet.

Definition:Transversaler Schnitt

Es seien  ${}F,G\in K[X,Y]$  und  ${}P\in V(F,G)$.  Dann sagt man, dass sich ${}V(F)$ und ${}V(G)$ im Punkt ${}P$ transversal schneiden, wenn ${}P$ sowohl auf ${}V(F)$ als auch auf ${}V(G)$ ein glatter Punkt ist und wenn die Tangenten der beiden Kurven im Punkt ${}P$ verschieden sind.

Definition:Der projektive Raum

Es sei ${}K$ ein Körper. Der projektive ${}n$-dimensionale Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ besteht aus allen Geraden des ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ durch den Nullpunkt, wobei diese Geraden als Punkte aufgefasst werden. Ein solcher Punkt wird repräsentiert durch homogene Koordinaten ${}(a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n})$, wobei nicht alle  ${}a_{i}=0$  sein dürfen, und wobei zwei solche Koordinatentupel genau dann den gleichen Punkt repräsentieren, wenn sie durch Multiplikation mit einem Skalar  ${}\lambda \in K^{\times }$  ineinander übergehen.

Definition:Projektives Nullstellengebilde zu homogenem Polynom

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu einem homogenen Polynom  ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$  bezeichnet man die Menge

$V_{+}(F)=\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(x_{0},\ldots ,x_{n})=0\right\}\,$

als die projektive Nullstellenmenge zu ${}F$.

Definition:Homogenes Ideal

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ein Ideal. Das Ideal heißt homogen, wenn für jedes  ${}H\in {\mathfrak {a}}$  mit der homogener Zerlegung  ${}H=\sum _{i}H_{i}$  auch  ${}H_{i}\in {\mathfrak {a}}$  für alle homogenen Bestandteile ${}H_{i}$ ist.

Definition:Nullstellengebilde zu einem homogenen Ideal

Zu einem homogenen Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$  nennt man

$V_{+}({\mathfrak {a}})=\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(P)=0{\text{ für }}{\text{alle homogenen }}F\in {\mathfrak {a}}\right\}\,$

das projektive Nullstellengebilde oder die projektive Varietät zu ${}{\mathfrak {a}}$.

Definition:Die Zariski-Topologie auf dem projektiven Raum

Der projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ wird mit der Zariski-Topologie versehen, bei der die Mengen  ${}V_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$  zu einem homogenen Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$  als abgeschlossen erklärt werden.

Definition:Projektive Varietät

Eine projektive Varietät ist eine Zariski-abgeschlossene Teilmenge

${}V_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}\,,$

wobei ${}{\mathfrak {a}}$ ein homogenes Ideal in ${}K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ist.

Definition:Algebraische Funktion

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper,  ${}Y\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$  eine projektive Varietät,  ${}U\subseteq Y$  eine offene Teilmenge und  ${}P\in U$  ein Punkt. Dann heißt eine Funktion

$f\colon U\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}=K$

algebraisch (oder regulär oder polynomial) im Punkt ${}P$, wenn es eine offene affine Umgebung

${}P\in V\subseteq U\,$

derart gibt, dass die auf ${}V$ eingeschränkte Funktion ${}f{|}_{V}$ algebraisch im Punkt ${}P$ ist. ${}f$ heißt algebraisch auf ${}U$, wenn ${}f$ in jedem Punkt aus ${}U$ algebraisch ist.

Definition:Quasiprojektive Varietät

Eine offene Teilmenge einer projektiven Varietät zusammen mit der induzierten Zariski-Topologie und versehen mit der Strukturgarbe der algebraischen Funktionen nennt man eine quasiprojektive Varietät.

Definition:Morphismus von quasiprojektiven Varietäten

Es seien ${}X$ und ${}Y$ quasiprojektive Varietäten über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

${\psi }\colon Y\longrightarrow X$

eine stetige Abbildung. Dann nennt man ${}{\psi }$ einen Morphismus (von quasiprojektiven Varietäten), wenn für jede offene Teilmenge  ${}U\subseteq X$  und jede algebraische Funktion  ${}f\in \Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$  gilt, dass die zusammengesetzte Funktion

$f\circ {\psi }:{\psi }^{-1}(U)\longrightarrow U{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\mathbb {A} }_{K}^{1}$

zu ${}\Gamma ({\psi }^{-1}(U),{\mathcal {O}}_{Y})$ gehört.

Definition:Homogenisierung zu einem Ideal

Zu einem Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  heißt das Ideal in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n},Z]$, das von allen Homogenisierungen von Elementen aus ${}{\mathfrak {a}}$ erzeugt wird, die Homogenisierung ${}{\mathfrak {a}}^{h}$ des Ideals ${}{\mathfrak {a}}$.

Definition:Projektiver Abschluss

Zu einer affinen Varietät  ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$  heißt der Zariski-Abschluss von $V({\mathfrak {a}})$ in ${\mathbb {P} }_{K}^{n}$ der projektive Abschluss von ${}V({\mathfrak {a}})$.

Definition:Projektive ebene Kurve

Eine projektive ebene Kurve ist die Nullstellenmenge  ${}C=V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$  zu einem homogenen nicht-konstanten Polynom  ${}F\in K[X,Y,Z]$. 

Definition:Projektion weg von Punkt

Die Abbildung

${\mathbb {P} }_{K}^{n}\setminus \{(1,0,\ldots ,0)\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{n-1},\,(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{n}),$

heißt die Projektion weg vom Punkt ${}(1,0,\ldots ,0)$.