Kurs:Analysis/Teil I/14/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	4	3	5	1	2	4	5	5	7	4	6	4	2	4	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine injektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

2. Eine Cauchy-Folge in ${}\mathbb {R}$.
3. Der natürliche Logarithmus

   $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$

4. Die Ableitungsfunktion zu einer differenzierbaren Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

5. Das bestimmte Integral zu einer Riemann-integrierbaren Funktion

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} .$

6. Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über wachsende, nach oben beschränkte Folgen in ${}\mathbb {R}$.
2. Der Satz über die Konvergenz der Exponentialreihe.
3. Der Satz über die Beziehung von Stetigkeit und Riemann-Integrierbarkeit.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas (ein Fingerhut oder ein Schnapsglas) in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt (insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe). Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?

Aufgabe * (3 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch für eine Aussage der Form „Aus ${}A$ folgt ${}B$“.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel.

Aufgabe (1 Punkt)

Was fällt an dem folgenden Satz auf (aus der Sendung Börse vor acht, 2020): „Die deutsche Bahn will bis 2030 ihren Personenverkehr verdoppeln. Ihren Güterverkehr will sie im gleichen Zeitraum sogar um ${}70\%$ steigern“.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}x,y>0$. Zeige, dass ${}x\geq y$ genau dann gilt, wenn

${}x/y\geq 1\,$

gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ beschränkt ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}x_{n}$ eine gegen ${}x$ konvergente reelle Folge. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$

eine bijektive Abbildung. Zeige, dass auch die durch

${}y_{n}:=x_{\varphi (n)}\,$

definierte Folge gegen ${}x$ konvergiert.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )$ und die Menge der Abbildungen ${}\operatorname {Abb} \,{\left(\mathbb {N} ,{\mathfrak {P}}\,(\mathbb {N} )\right)}$ gleichmächtig sind.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion ${}\neq 0$, die die Gleichung

${}f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\,$

für alle ${}x,y\in \mathbb {R}$ erfüllt. Zeige, dass ${}f$ eine Exponentialfunktion ist, d.h. dass es ein ${}b>0$ mit ${}f(x)=b^{x}$ gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {K} }$ eine Teilmenge und es sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Folge von gleichmäßig stetigen Funktionen, die gleichmäßig gegen die Funktion ${}f$ konvergiert. Zeige, dass ${}f$ gleichmäßig stetig ist.

Aufgabe * (6 (1+1+2+2) Punkte)

Es sei ${}f(x)={\frac {x^{2}-1}{x}}$ und ${}g(y)={\frac {y^{2}}{y-1}}$.

a) Bestimme die Ableitung von ${}f$ und von ${}g$.

b) Berechne die Hintereinanderschaltung ${}h(x)=g(f(x))$.

c) Bestimme die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe von Teil b).

d) Bestimme die Ableitung von ${}h$ mittels der Kettenregel.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz von Rolle.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion

$\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Durchschnittswert der Quadratwurzel ${}{\sqrt {x}}$ für ${}x\in [1,4]$. Vergleiche diesen Wert mit der Wurzel des arithmetischen Mittels von ${}1$ und ${}4$ und mit dem arithmetischen Mittel der Wurzel von ${}1$ und der Wurzel von ${}4$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

$y'=5t{\text{ mit }}y(2)=7.$