Kurs:Analysis/Teil I/22/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	4	4	3	4	3	5	3	2	5	7	4	3	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Franziska möchte mit ihrem Freund Heinz Schluss machen. Sie erwägt die folgenden drei Begründungen.

1. „Du hast dich schon am ersten Tag voll daneben benommen. Seitdem ist es von jedem Tag zum nächsten Tag nur noch schlimmer geworden. Du wirst Dich also immer völlig daneben benehmen“.
2. „Wenn ich mit Dir zusammenbleiben würde, so würde ich irgendwann als eine traurige, gelangweilte, vom Leben enttäuschte Person enden, das möchte ich aber auf gar keinen Fall“.
3. „Also, wenn Du mich nicht liebst, will ich Dich sowieso nicht. Wenn Du mich aber liebst, so komme ich zu dem Schluss, dass Du dein Verhalten mit Deinen Gefühlen nicht zur Deckung bringen kannst. Dann bist Du also unreif und dann will ich Dich auch nicht“.

Welche mathematischen Beweisprinzipien spiegeln sich in den drei Begründungen wieder?

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Lucy Sonnenschein unternimmt eine Zeitreise. Sie reist zuerst ${}16$ Stunden nach vorne, dann (immer vom jeweiligen erreichten Zeitpunkt aus) ${}5$ Stunden nach vorne, dann ${}26$ Stunden zurück, dann ${}4$ Stunden zurück, dann ${}8$ Stunden nach vorne und dann ${}12$ Stunden zurück.

1. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn die Reise selbst keine Zeit verbraucht?
2. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn eine Zeitreise um eine Stunde, egal ob in die Zukunft oder in die Vergangenheit, immer eine Minute verbraucht?

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Für eine Klausur verteilt Professor Knopfloch Nummern ${}n$ von ${}1$ bis ${}150$ an die Studenten. Diese sollen sich gemäß ihrer Nummer ${}n$ vor der Halle ungefähr mit einem Abstand (in Meter)

${}a(n)=5+4\left\lfloor {\sqrt {n}}\right\rfloor \,$

zum Eingang aufstellen, wobei der zur Verfügung stehende Platz in etwa ein Viertelkreissektor mit dem Eingang als Mittelpunkt ist.

1. Ist die Abbildung

   $a\colon \{1,\ldots ,150\}\longrightarrow \mathbb {N}$

   injektiv?

2. Ist die Abbildung

   $a\colon \{1,\ldots ,150\}\longrightarrow \{1,\ldots ,53\}$

   surjektiv?

3. Wie viele Leute sollen einen Abstand von ${}49$ Meter zum Eingang einnehmen?
4. Welche Vorteile (Nachteile) hat die gewählte Abstandsfunktion gegenüber der Funktion

   ${}b(n)=5+4n\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in einem angeordneten Körper eindeutig bestimmt ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ sei durch einen Anfangswert ${}x_{0}\in K$ und durch die Rekursionsvorschrift

${}x_{n+1}=-x_{n}\,$

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige unter Verwendung der Bernoullischen Ungleichung, dass die Folge

${}x_{n}={\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$

wachsend ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}a\in K$. Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung

$\psi \colon K[X]\longrightarrow K,\,P\longmapsto P(a),$

folgende Eigenschaften erfüllt (dabei seien $P,Q\in K[X]$).

1. ${}(P+Q)(a)=P(a)+Q(a)$.
2. ${}(P\cdot Q)(a)=P(a)\cdot Q(a)$.
3. ${}1(a)=1$.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}P=X^{3}+bX^{2}+cX+d\,$

ein normiertes Polynom über einem Körper ${}K$. Es seien ${}u,v,w$ drei (verschiedene) Zahlen aus ${}K$. Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von ${}P$ sind, wenn sie das Gleichungssystem

${}uvw=-d\,,$

${}uv+uw+vw=c\,,$

${}u+v+w=-b\,,$

erfüllen.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die harmonische Reihe divergiert.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},$

gilt ${}f(-1)=-1$ und ${}f(1)=1$. Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen ${}-1$ und ${}1$ geben, also eine Zahl ${}x\in [-1,1]$ mit ${}f(x)=0$. Es ist doch aber stets ${}{\frac {1}{x}}\neq 0$.“

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den zweiten Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Aufgabe * (7 (1+1+5) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Man gebe ein Beispiel für eine Gerade, die den Graphen der Exponentialfunktion in keinem Punkt schneidet.
2. Man gebe ein Beispiel für eine Gerade, die den Graphen der Exponentialfunktion in genau einem Punkt schneidet.
3. Zeige, dass jede Gerade den Graphen der Exponentialfunktion in höchstens zwei Punkten schneidet.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine konvexe differenzierbare Funktion. Zeige, dass in jedem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$ die Tangente an den Graphen in ${}(a,f(a))$ mit dem Graphen oberhalb eines (eventuell einpunktigen) Intervalles übereinstimmt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion von

$\cos \left(\cos \left(\sin x\right)\right)\cdot \sin \left(\sin x\right)\cdot \cos x.$

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen.