Kurs:Analysis/Teil I/23/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	3	3	4	3	2	4	6	5	4	4	12	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wie viele Teilquadrate mit positiver Seitenlänge gibt es in einem Quadrat der Seitenlänge ${}5$? Die Seiten der Teilquadrate sollen wie im Bild auf dem „Gitter“ liegen, ein einzelner Punkt gelte nicht als Quadrat.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten auf der Menge

${}M=\{a,b,c,d\}\,$

die durch die Tabelle

${}\star$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$
${}a$	${}c$	${}a$	${}a$	${}a$
${}b$	${}d$	${}d$	${}b$	${}b$
${}c$	${}a$	${}b$	${}c$	${}c$
${}d$	${}b$	${}a$	${}d$	${}d$

gegebene Verknüpfung ${}\star$.

1. Berechne

   $b\star (c\star (d\star a)).$

2. Besitzt die Verknüpfung ${}\star$ ein neutrales Element?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Eine reelle Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch einen Anfangswert ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ und durch die Rekursionsvorschrift

${}x_{n+1}=-x_{n}\,$

gegeben. Bestimme die Anfangswerte, für die diese Folge konvergiert.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne

${\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{5}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}\cdot {\left(-{\frac {2}{5}}+7{\sqrt[{3}]{2}}+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt[{3}]{2}}\right)}^{2}\right)}.$

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}a,b$ positive reelle Zahlen und ${}m,n\in \mathbb {N}$. Zeige mit geeigneten Potenzgesetzen die folgenden Aussagen.

1. Es ist

   ${}{\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{mn}]{b}}\,.$

2. Es ist

   ${}{\sqrt[{m}]{ab}}={\sqrt[{m}]{a}}{\sqrt[{m}]{b}}\,.$

3. Es ist

   ${}{\sqrt[{m}]{b^{-1}}}={\left({\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{-1}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine Folge von abgeschlossenen Intervallen (${}n\in \mathbb {N} _{+}$)

${}I_{n}=[a_{n},b_{n}]\subseteq \mathbb {R} \,$

mit ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n$, wobei ${}a_{n}$ streng wachsend und ${}b_{n}$ streng fallend ist, wo aber keine Intervallschachtelung vorliegt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Cauchy-Kriterium für Reihen komplexer Zahlen.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart gibt, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Ableitung in einem Extremum.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,z\longmapsto f(z),$

eine Funktion, die die Funktionalgleichung

${}f(z+w)=f(z)\cdot f(w)\,$

für alle ${}z,w\in \mathbb {R}$ erfülle und die in ${}0$ differenzierbar sei. Zeige, dass dann ${}f$ in jedem Punkt differenzierbar ist und die Beziehung ${}f'(z)=\lambda f(z)$ mit einem festen ${}\lambda \in \mathbb {R}$ gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive, streng wachsende Funktion

$[-\pi /2,\pi /2]\longrightarrow [-1,1]$

induziert, und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive, streng fallende Funktion

$[0,\pi ]\longrightarrow [-1,1]$

induziert.

Aufgabe * (12 (1+3+1+1+1+2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Funktion

${}f(x)=x^{3}+x^{2}-x+1\,.$

1. Bestimme die erste und die zweite Ableitung von ${}f$.
2. Bestimme die lokalen Extrema von ${}f$.
3. Wie viele reelle Nullstellen hat ${}f$?
4. Wie viele komplexe Nullstellen hat ${}f$?
5. Bestimme eine Gleichung für die Tangente durch das lokale Maximum der Funktion.
6. Bestimme die Schnittpunkte der Tangente mit dem Funktionsgraphen.
7. Die Tangente und der Funktionsgraph beschränken ein endliches Gebiet. Berechne dessen Flächeninhalt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das Anfangswertproblem

$y'=(-4t^{3}+2t^{2}+3t+1)y{\text{ mit }}y(-2)=-5.$