Kurs:Analysis/Teil I/38/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	2	4	5	4	4	4	3	3	4	6	4	3	6	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine rationale Zahl.
2. Ein abgeschlossenes Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$.
3. Ein vollständig angeordneter Körper ${}K$.
4. Der natürliche Logarithmus

   $\ln \colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} .$

5. Die Zahl ${}\pi$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
6. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem kompakten Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Intervallschachtelung für die Eulersche Zahl.
2. Die Funktionalgleichung der komplexen Exponentialfunktion.
3. Der Satz über die Ableitung des Sinus.

Aufgabe * (4 Punkte)

Hanny, Nanny, Fanny und Sanny leben auf dem Ponyhof. Heute machen sie einen Ausflug mit den Ponies Pona, Pone, Pono und Ponu. Jedes der Mädchen sitzt dabei genau auf einem Pony, und sie reiten hintereinander. Folgende Fakten sind bekannt.

1. Fanny sitzt nicht auf Pona.
2. Pone und Ponu vertragen sich nicht so gut und laufen daher nicht direkt hintereinander.
3. Nanny sitzt auf Pone oder auf Pono.
4. Sanny reitet auf Pona oder auf Pone.
5. Nanny reitet direkt hinter Sanny.
6. Auf Ponu sitzt nicht Sanny.
7. Pona läuft direkt zwischen Pone und Pono.
8. Auf Pono sitzt weder Fanny noch Hanny.
9. Sanny reitet weiter vorne als Hanny.

Wer sitzt auf welchem Pony und in welcher Reihenfolge laufen sie?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}f\colon L\rightarrow M$ und ${}g\colon M\rightarrow N$ Abbildungen. Zeige, dass für jede Teilmenge ${}U\subseteq N$ die Beziehung

${}f^{-1}{\left(g^{-1}(U)\right)}={\left(g\circ f\right)}^{-1}(U)\,$

gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Zwei Fahrradfahrer, ${}A$ und ${}B$, fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer ${}A$ macht pro Minute ${}40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von ${}1$ zu ${}6$ und Reifen mit einem Radius von ${}39$ Zentimetern. Fahrer ${}B$ braucht für eine Pedaldrehung ${}2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von ${}1$ zu ${}7$ und Reifen mit einem Radius von ${}45$ Zentimetern.

Wer fährt schneller?

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass ${}{\sqrt {2}}$ eine irrationale Zahl ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise die allgemeine binomische Formel.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Finde alle Lösungen ${}(a,b,c)\in K^{3}$, die das Gleichungssystem

${}a\cdot b=c\,,$

${}b\cdot c=a\,,$

${}a\cdot c=b\,,$

erfüllen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zu jeder natürlichen Zahl ${}k$ sei eine Nullfolge ${}y_{k}$ gegeben, das ${}n$-te Folgenglied der ${}k$-ten Folge sei mit ${}y_{kn}$ bezeichnet. Ist die Folge ${}z_{n}$, deren ${}n$-tes Folgenglied durch

${}z_{n}=\prod _{k=1}^{n}y_{kn}\,$

gegeben ist, ebenfalls eine Nullfolge?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, ob die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}}{e^{n}}}$

konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}\mathbb {R}$. Wir betrachten die Funktionenfolge

$f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto tx_{n}.$

Zeige, dass diese Funktionenfolge punktweise, aber im Allgemeinen nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Aufgabe * (6 (2+1+2+1) Punkte)

1. Zeige, dass ${}x^{2}+x+1$ stets positiv ist.
2. Bestimme die Ableitung von ${}\ln \left(x^{2}+x+1\right)$.
3. Bestimme das Monotonieverhalten und die Extrema von ${}\ln \left(x^{2}+x+1\right)$.
4. Bestimme das Intervall, auf dem ${}\ln \left(x^{2}+x+1\right)$ negativ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}I,J\subseteq \mathbb {R}$ reelle Intervalle und

$f\colon I\longrightarrow J$

eine bijektive wachsende konvexe Funktion. Zeige, dass die Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon J\longrightarrow I$

konkav ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{2}^{5}{\frac {x}{x+1}}\,dx$

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.