Kurs:Analysis/Teil II/100/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	0	0	3	1	5	6	4	0	0	1	0	10	0	3	0	0	33

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass es eine Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem Vektorraum ${}V$ geben kann, die nicht die Nullform ist, für die aber

${}\left\langle v,v\right\rangle =0\,$

für alle ${}v\in V$ ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Begründe, ob die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy,x^{y})=(u,v,w).$

injektiv ist oder nicht.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}X$ ein metrischer Raum und seien ${}Y,Z\subseteq X$ abgeschlossene Teilmengen, die zueinander disjunkt seien. Zeige, dass es zueinander disjunkte offene Teilmengen ${}U,V\subseteq X$ mit ${}Y\subseteq U$ und ${}Z\subseteq V$ gibt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Löse die Differentialgleichung

${}y^{\prime \prime }-3y'+9y=(t^{2}-8)e^{5t}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse die Differentialgleichung

${}y^{\prime \prime }-y=e^{t}\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die partielle Ableitung nach ${}w$ der Funktion

${}{\begin{aligned}f(x,y,z,u,v,w)&=e^{x^{2}-yv}-\sin \left(v-\cos u^{2}\right)+w^{2}-17x^{13}z^{11}+{\sqrt[{3}]{u^{2}+v^{2}+3}}\\\,\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (10 (1+1+4+4) Punkte)

Wir betrachten das zeitunabhängige Vektorfeld

${}F(x,y):=(x^{2}+y^{2}-1){\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}+(x-1){\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}\,$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$.

1. Skizziere das Vektorfeld auf dem Einheitskreis und auf der durch ${}x=1$ gegebenen Geraden.
2. Bestimme eine konstante Lösung der zugehörigen Differentialgleichung.
3. Finde eine Lösung ${}\varphi (t)$ des Anfangswertproblems

   ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=F(x,y)\,$

   mit

   ${}\varphi (0)={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\,.$

4. Es sei ${}\theta (t)$ eine Lösung der Differentialgleichung

   ${}z'=\cos \left(z\right)-1\,$

   mit

   ${}z(t)={\frac {\pi }{2}}\,.$

   Drücke damit eine Lösung des Anfangswertproblems

   ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=F(x,y)\,$

   mit

   ${}\varphi (0)={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,$

   aus.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die partiellen Ableitungen der Abbildung

$\psi \colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(1,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\longmapsto {\frac {1}{-2a+1+a^{2}+b^{2}}}{\begin{pmatrix}-2b\\1-a^{2}-b^{2}\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)