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Kurs:Analysis/Teil II/2/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 3 6 4 4 8 8 4 6 5 2 4 4 64




Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Grenzwert einer Abbildung

    in , wobei metrische Räume sind, eine Teilmenge und ein Berührpunkt von ist.

  2. Ein wegzusammenhängender metrischer Raum .
  3. Die Differenzierbarkeit einer Funktion

    in einem Punkt , wobei ein Intervall und ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist.

  4. Ein (zeitabhängiges) Vektorfeld auf einer offenen Menge .
  5. Die Richtungsableitung einer Abbildung

    in Richtung , wobei endlichdimensionale reelle Vektorräume sind mit offen und .

  6. Eine Bilinearform auf einem - Vektorraum .



Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit in einem Punkt zu einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen

    und .
  2. Der Fundamentalsatz der Algebra.
  3. Das Ableitungskriterium für die Lipschitz-Eigenschaft eines Vektorfeldes



Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass für die Abschätzung

gilt.



Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei eine Folge in einem metrischen Raum . Es sei die Menge aller Häufungspunkte der Folge und

Zeige, dass eine abgeschlossene Teilmenge von ist.



Aufgabe * (4 Punkte)

Die folgende Tabelle zeigt eine Auswahl der Gastgeberländer und der Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1970 bis 2014.

Jahr Gastgeber Weltmeister

Es sei die Menge der Gastgeberländer und

die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf eine Metrik derart, dass zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass eine starke Kontraktion ist?



Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Intervall, ein euklidischer Vektorraum und

eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung

besteht.



Aufgabe * (8 (5+3) Punkte)

a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung .



Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz von Schwarz.



Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .



Aufgabe * (6 (2+1+1+2) Punkte)

Es sei eine stetige Funktion. Wir betrachten das bestimmte Integral als Funktion in den beiden Grenzen, also die Abbildung

  1. Bestimme die kritischen Punkte von .
  2. Erstelle die Hesse-Matrix zu unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass stetig differenzierbar ist.
  3. Formuliere das Minorenkriterium für Extrema in der Situation von (2).
  4. Man erläutere diese Ergebnisse inhaltlich unter Bezug zur Bedeutung des bestimmten Integrals.



Aufgabe * (5 (2+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.

b) Zeige, dass im Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Zeige, dass in regulär ist.



Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Es sei

eine Funktion.

a) Realisiere den Graphen von als Faser zu einer Abbildung

über .

b) Es sei stetig differenzierbar. Zeige, dass die Punkte auf dem Graphen von regulär sind.



Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über den Zusammenhang von Anfangswertproblemen und Integralgleichungen.



Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu .