Kurs:Analysis/Teil II/2/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 6 | 4 | 4 | 8 | 8 | 4 | 6 | 5 | 2 | 4 | 4 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Der
Grenzwert
einer Abbildung
in , wobei metrische Räume sind, eine Teilmenge und ein Berührpunkt von ist.
- Ein wegzusammenhängender metrischer Raum .
- Die
Differenzierbarkeit
einer Funktion
in einem Punkt , wobei ein Intervall und ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist.
- Ein (zeitabhängiges) Vektorfeld auf einer offenen Menge .
- Die
Richtungsableitung
einer Abbildung
in Richtung , wobei endlichdimensionale reelle Vektorräume sind mit offen und .
- Eine Bilinearform auf einem - Vektorraum .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das Folgenkriterium für die Stetigkeit in einem Punkt zu einer Abbildung
zwischen metrischen Räumen
und . - Der Fundamentalsatz der Algebra.
- Das
Ableitungskriterium
für die Lipschitz-Eigenschaft eines Vektorfeldes
Aufgabe * (3 Punkte)
Zeige, dass für die Abschätzung
gilt.
Aufgabe * (6 Punkte)
Es sei eine Folge in einem metrischen Raum . Es sei die Menge aller Häufungspunkte der Folge und
Zeige, dass eine abgeschlossene Teilmenge von ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Die folgende Tabelle zeigt eine Auswahl der Gastgeberländer und der Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1970 bis 2014.
Jahr | Gastgeber | Weltmeister |
---|---|---|
Es sei die Menge der Gastgeberländer und
die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf eine Metrik derart, dass zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass eine starke Kontraktion ist?
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein Intervall, ein euklidischer Vektorraum und
eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung
besteht.
Aufgabe * (8 (5+3) Punkte)
a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
b) Löse das Anfangswertproblem
mit der Anfangsbedingung .
Aufgabe * (8 Punkte)
Beweise den Satz von Schwarz.
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
im Punkt .
Aufgabe * (6 (2+1+1+2) Punkte)
Es sei eine stetige Funktion. Wir betrachten das bestimmte Integral als Funktion in den beiden Grenzen, also die Abbildung
- Bestimme die kritischen Punkte von .
- Erstelle die Hesse-Matrix zu unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass stetig differenzierbar ist.
- Formuliere das Minorenkriterium für Extrema in der Situation von (2).
- Man erläutere diese Ergebnisse inhaltlich unter Bezug zur Bedeutung des bestimmten Integrals.
Aufgabe * (5 (2+1+2) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.
b) Zeige, dass im Nullpunkt nicht regulär ist.
c) Zeige, dass in regulär ist.
Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise den Satz über den Zusammenhang von Anfangswertproblemen und Integralgleichungen.
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)
Wir betrachten das Vektorfeld
a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein Gradientenfeld ist.
b) Bestimme ein Potential zu .