Kurs:Analysis/Teil II/6/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Punkte | 3 | 3 | 7 | 2 | 6 | 1 | 4 | 3 | 1 | 2 | 6 | 8 | 4 | 4 | 6 | 4 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Norm zu einem Skalarprodukt auf einem - Vektorraum .
- Ein zusammenhängender metrischer Raum .
- Eine kompakte Teilmenge .
- Eine Differentialgleichung höherer Ordnung (in einer Variablen).
- Ein -Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen und in euklidischen Vektorräumen .
- Eine nicht-ausgeartete Bilinearform.
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das Majorantenkriterium für uneigentliche Integrale.
- Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.
- Die Charakterisierung von Gradientenfeldern mit Wegintegralen auf einer offenen Menge .
Aufgabe * (7 (1+2+2+2) Punkte)
a) Zeige, dass für die Abschätzung
gilt.
b) Zeige, dass die Funktion mit
für monoton wachsend ist.
c) Zeige, dass gilt.
d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für die Abschätzung
gilt.
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei ein metrischer Raum. Zeige, dass die offenen Kugeln offen sind.
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise die Aussage, dass eine Folge im (versehen mit der euklidischen Metrik) genau dann konvergiert, wenn sämtliche Komponentenfolgen konvergieren.
Aufgabe * (1 Punkt)
Die folgende Tabelle zeigt die Gastgeberländer und die Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1978 bis 2014.
Jahr | Gastgeber | Weltmeister |
---|---|---|
Es sei die Menge der Gastgeberländer und
die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf eine Metrik derart, dass zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass eine starke Kontraktion ist?
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension und Punkte mit
Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Kurve
mit , und für alle gibt.
Aufgabe * (3 Punkte)
Berechne das Wegintegral zum Vektorfeld
längs des Weges
Aufgabe * (1 Punkt)
Bestimme zur Funktion
die Richtungsableitung in Richtung für jeden Punkt.
Aufgabe * (2 Punkte)
Bestimme eine Lösungskurve der ortsunabhängigen Differentialgleichung
auf .
Aufgabe * (6 Punkte)
Aufgabe * (8 Punkte)
Beweise den Satz über die totale Differenzierbarkeit bei partieller Differenzierbarkeit.
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion
im Punkt .
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (6 Punkte)
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)
Wir betrachten das Vektorfeld
a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein Gradientenfeld ist.
b) Bestimme ein Potential zu .