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Kurs:Analysis/Teil II/6/Klausur/kontrolle

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 7 2 6 1 4 3 1 2 6 8 4 4 6 4 64








a) Zeige, dass für die Abschätzung

gilt.

b) Zeige, dass die Funktion mit

für monoton wachsend ist.

c) Zeige, dass gilt.

d) Zeige, dass für die Fakultätsfunktion für die Abschätzung

gilt.



Es sei ein metrischer Raum. Zeige, dass die offenen Kugeln offen sind.



Beweise die Aussage, dass eine Folge im (versehen mit der euklidischen Metrik) genau dann konvergiert, wenn sämtliche Komponentenfolgen konvergieren.



Die folgende Tabelle zeigt die Gastgeberländer und die Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1978 bis 2014.

Jahr Gastgeber Weltmeister

Es sei die Menge der Gastgeberländer und

die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf eine Metrik derart, dass zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass eine starke Kontraktion ist?



Es sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension und Punkte mit

Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Kurve

mit , und für alle gibt.



Berechne das Wegintegral zum Vektorfeld

längs des Weges



Bestimme zur Funktion

die Richtungsableitung in Richtung für jeden Punkt.



Bestimme eine Lösungskurve der ortsunabhängigen Differentialgleichung

auf .



Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur vierten Ordnung.



Beweise den Satz über die totale Differenzierbarkeit bei partieller Differenzierbarkeit.



Bestimme das Taylor-Polynom zweiter Ordnung der Funktion

im Punkt .



Untersuche die Funktion

auf kritische Punkte und Extrema.



Zeige, dass der Punkt der einzige nichtreguläre Punkt der Faser zur Abbildung

über ist.



Wir betrachten das Vektorfeld

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu .