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Kurs:Analysis/Teil II/7/Klausur/kontrolle

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 4 7 3 7 4 1 2 5 6 3 7 5 4 64








Zeige, dass das offene Einheitsintervall und das abgeschlossene Einheitsintervall nicht homöomorph sind.



Beweise den Satz über die Folgencharakterisierung von kompakten Teilmengen .



Berechne das Wegintegral zur archimedischen Spirale

im Vektorfeld



a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems

b) Löse das Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung



Es sei ein Intervall, ein euklidischer Vektorraum und

eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung

besteht.



Skizziere die Nullstellenmenge (die Niveaumenge zum Wert ) einer Funktion

mit und der Eigenschaft, dass in kein lokales Minimum besitzt, dass aber die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt ein lokales Minimum besitzt.



Es sei

Zeige, dass die Wärmeleitungsgleichung

erfüllt.



Es sei

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei eine offene Menge sei. Zeige, dass für und die Beziehung

gilt.



Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion mit

für alle .

a) Zeige, dass in einen kritischen Punkt besitzt.

b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in ein isoliertes lokales Maximum besitzt.

c) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in kein Extremum besitzt.



Es sei

eine total differenzierbare Abbildung derart, dass es eine reelle Zahl gibt mit

für alle . Zeige, dass die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.



Beweise den Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer linearen surjektiven Abbildung

Für welche Punkte sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?



Für eine Party soll eine Bowle gemischt werden, wobei Euro zur Verfügung stehen. Die Zutaten sind Orangensaft, Erdbeeren, Rum und Sekt. Die Preisfunktion ist

Die Stimmungsfunktion wird durch

beschrieben. Bei welchem Mischungsverhältnis wird die Stimmung optimiert? (Es genügt, den (die) kritischen Punkt(e) für die Lagrange-Bedingung auszurechnen).



Beweise den Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld.