Kurs:Analysis/Teil II/7/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
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Punkte | 3 | 3 | 4 | 7 | 3 | 7 | 4 | 1 | 2 | 5 | 6 | 3 | 7 | 5 | 4 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass das offene Einheitsintervall und das abgeschlossene Einheitsintervall nicht homöomorph sind.
Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Satz über die Folgencharakterisierung von kompakten Teilmengen .
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (7 (5+2) Punkte)Referenznummer erstellen
a) Bestimme den Lösungsraum des linearen Differentialgleichungssystems
b) Löse das Anfangswertproblem
mit der Anfangsbedingung
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein Intervall, ein euklidischer Vektorraum und
eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung
besteht.
Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Skizziere die Nullstellenmenge (die Niveaumenge zum Wert ) einer Funktion
mit und der Eigenschaft, dass in kein lokales Minimum besitzt, dass aber die Einschränkung von auf jede Gerade durch den Nullpunkt ein lokales Minimum besitzt.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
Zeige, dass die Wärmeleitungsgleichung
erfüllt.
Aufgabe * (5 Punkte)Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/7/Klausur/kontrolle (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ändern
Es sei
eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei eine offene Menge sei. Zeige, dass für und die Beziehung
gilt.
Aufgabe * (6 (4+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
eine stetig differenzierbare Funktion mit
für alle .
a) Zeige, dass in einen kritischen Punkt besitzt.
b) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in ein isoliertes lokales Maximum besitzt.
c) Man gebe ein Beispiel für eine solche Funktion, die in kein Extremum besitzt.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
eine total differenzierbare Abbildung derart, dass es eine reelle Zahl gibt mit
für alle . Zeige, dass die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.
Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Satz über implizite Abbildungen für den Fall einer linearen surjektiven Abbildung
Für welche Punkte sind die Voraussetzungen des Satzes erfüllt?
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Für eine Party soll eine Bowle gemischt werden, wobei Euro zur Verfügung stehen. Die Zutaten sind Orangensaft, Erdbeeren, Rum und Sekt. Die Preisfunktion ist
Die Stimmungsfunktion wird durch
beschrieben. Bei welchem Mischungsverhältnis wird die Stimmung optimiert? (Es genügt, den (die) kritischen Punkt(e) für die Lagrange-Bedingung auszurechnen).
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld.