Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Vorlesung 21/latex

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\setcounter{section}{21}






\zwischenueberschrift{Die Zahl $\pi$ }

Die Zahl $\pi$ ist der Flächeninhalt bzw. der halbe Kreisumfang eines Kreises mit Radius $1$. Um darauf eine präzise Definition dieser Zahl aufzubauen müsste man zuerst die Maßtheorie \zusatzklammer {bzw. die Länge von \anfuehrung{krummen Kurven}{}} {} {} entwickeln. Auch die trigonometrischen Funktionen haben eine intuitive Interpretation am Einheitskreis, doch auch diese setzt das Konzept der Bogenlänge voraus. Ein alternativer Zugang ist es, die Zahl $\pi$ über analytische Eigenschaften der durch ihre Potenzreihen definierten Funktionen Sinus und Kosinus zu definieren und dann erst nach und nach die Beziehung zum Kreis herzustellen \zusatzklammer {siehe Beispiel ***** und Beispiel *****} {} {.}





\inputfaktbeweis
{Reelle Kosinusfunktion/Genau eine Nullstelle zwischen 0 und 2/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Die \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{}}
\faktfolgerung {besitzt im \definitionsverweis {reellen}{}{} \definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{[0,2]}{} genau eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Wir betrachten die \definitionsverweis {Kosinusreihe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos x }
{ =} { \sum_{ n = 0}^\infty \frac{ (-1)^{ n } x^{2n} }{(2n)!} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 0 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kann man geschickt klammern und erhält
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \cos 2 }
{ =} { 1- \frac{2^2}{2!} + \frac{2^4}{4!} - \frac{2^6}{6!} + \frac{2^8}{8!} - \ldots }
{ =} { 1- \frac{2^2}{2!} { \left( 1 - \frac{ 4}{3 \cdot 4} \right) } - \frac{2^6}{6!} { \left( 1- \frac{4}{7 \cdot 8} \right) } - \ldots }
{ =} { 1 - 2 ( 2/3) - \ldots }
{ \leq} { - 1/3 }
} {} {}{.} Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also mindestens eine Nullstelle im angegebenen Intervall.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Zum Beweis der Eindeutigkeit betrachten wir die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} des Kosinus, diese ist nach Satz 20.15
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos ' x }
{ =} { - \sin x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es genügt zu zeigen, dass der Sinus im Intervall
\mathl{]0,2[}{} positiv ist, denn dann ist das Negative davon stets negativ und der Kosinus ist dann nach Satz 19.5 im angegebenen Intervall \definitionsverweis {streng fallend}{}{,} so dass es nur eine Nullstelle gibt. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{ {]0,2]} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sin x }
{ =} { x- \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots }
{ =} { x { \left( 1- \frac{x^2}{3!} \right) } + \frac{x^5}{5!} { \left( 1- \frac{x^2}{6 \cdot 7} \right) } + \ldots }
{ \geq} { x { \left( 1- \frac{4}{3!} \right) } + \frac{x^5}{5!} { \left( 1- \frac{4}{6 \cdot 7} \right) } + \ldots }
{ \geq} { x/3 }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ >} {0 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}}
{}

}







\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Pi pie2.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Eine rationale Approximation der Zahl $\pi$ auf einem $\pi$-Pie.} }

\bildlizenz { Pi pie2.jpg } {Pi_pie2} {GJ} {engl. Wikipedia} {PD} {}





\inputdefinition
{}
{

Es sei $s$ die eindeutig bestimmte \definitionsverweis {reelle}{}{} \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} der \definitionsverweis {Kosinusfunktion}{}{} aus dem \definitionsverweis {Intervall}{}{}
\mathl{[0,2]}{.} Die \definitionswort {Kreiszahl}{} $\pi$ ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \pi }
{ \defeq} { 2s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert.

}

Im weiteren Verlauf dieses Kurses werden wir sehen, dass die so definierte Zahl mit der Kreiszahl übereinstimmt, dass also der Umfang eines Kreises mit Radius $r$ gleich
\mathl{2 \pi r}{} und sein Flächeninhalt gleich
\mathl{\pi r^2}{} ist.





\inputfaktbeweis
{Sinus und Kosinus/Periodizitätseigenschaften/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in ${\mathbb C}$ folgende \stichwort {Periodizitätseigenschaften} {.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( z+2 \pi \right) }
{ = }{ \cos z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( z+2 \pi \right) }
{ = }{ \sin z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( z+ \pi \right) }
{ = }{ - \cos z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( z+ \pi \right) }
{ = }{ - \sin z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \left( z+ \pi/2 \right) }
{ = }{ - \sin z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \left( z+ \pi/2 \right) }
{ = }{ \cos z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 0 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \pi/2 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos \pi }
{ = }{ -1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 3\pi/2 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \cos 2 \pi }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Nullstellen des Kosinus sind von der Form
\mathbed {{ \frac{ \pi }{ 2 } } +n \pi} {}
{n \in \Z} {}
{} {} {} {.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin 0 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \pi/2 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \pi }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin 3\pi/2 }
{ = }{ -1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin 2 \pi }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die Nullstellen des Sinus sind von der Form
\mathbed {n \pi} {}
{n \in \Z} {}
{} {} {} {.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Aufgrund der Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\cos z )^2 + ( \sin z)^2 }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( \sin \frac{\pi}{2} \right) }^2 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \frac{\pi}{2} }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} wegen der Überlegung im Beweis zu Lemma 21.1. Daraus folgen mit den Additionstheoremen die in (3) angegebenen Beziehungen zwischen Sinus und Kosinus, beispielsweise ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cos \left( z + { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
{ =} { \cos \left( z \right) \cos \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) - \sin \left( z \right) \sin \left( { \frac{ \pi }{ 2 } } \right) }
{ =} { - \sin \left( z \right) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es genügt daher, die Aussagen für den Kosinus zu beweisen. Alle Aussagen folgen dann aus der Definition von $\pi$ und aus (3).

}







\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Sine_cosine_plot.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Sine cosine plot.svg } {} {Qualc1} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}


\inputfaktbeweis
{Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Die \definitionsverweis {reelle Sinusfunktion}{}{}}
\faktfolgerung {induziert eine \definitionsverweis {bijektive}{}{,} \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} Funktion \maabbdisp {} {[- \pi/2, \pi/2]} {[-1,1] } {,} und die \definitionsverweis {reelle Kosinusfunktion}{}{} induziert eine bijektive streng fallende Funktion \maabbdisp {} {[0,\pi]} {[-1,1] } {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 20.3. }







\zwischenueberschrift{Polarkoordinaten für ${\mathbb C}$ }





\inputfaktbeweis
{Komplexe Exponentialfunktion/Periodizitätseigenschaften/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Die \definitionsverweis {komplexe Exponentialfunktion}{}{}}
\faktuebergang {besitzt die folgenden Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e^z }
{ = }{ e^{z+2 \pi { \mathrm i} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e^z }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ = }{2 \pi { \mathrm i} n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e^z }
{ = }{e^w }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z-w }
{ = }{2 \pi { \mathrm i} n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt aus Satz 15.10, aus Fakt ***** und aus Satz 15.7.

}


Insbesondere gilt also die berühmte Formel
\mathdisp {e^{2 \pi i } = 1} { . }
Aus der \stichwort {Eulerschen Gleichung} {}
\mathdisp {e^{i \varphi} = \cos \varphi +i \sin \varphi} { }
kann man ebenso die Gleichung
\mathl{e^{\pi i } =-1}{} bzw.
\mathl{e^{\pi i } +1=0}{} ablesen, die die fünf wichtigsten Zahlen der Mathematik enthält.





\inputfaktbeweis
{Komplexe Zahlen/Polarkoordinaten/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Zu jeder \definitionsverweis {komplexen Zahl}{}{}
\mathbed {z \in {\mathbb C}} {,}
{z \neq 0} {}
{} {} {} {,}}
\faktfolgerung {gibt es eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z }
{ =} { r \cdot \exp ( { \mathrm i} \varphi) }
{ =} { r e^{ { \mathrm i} \varphi} }
{ =} { r( \cos \varphi + { \mathrm i} \sin \varphi ) }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi }
{ \in }{ [0, 2 \pi[ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wegen Satz 15.10 ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ =} { \betrag { r } \betrag { e^{ { \mathrm i} \varphi} } }
{ =} { \betrag { r } }
{ =} { r }
{ } { }
} {}{}{,} d.h. $r$ ist als Betrag der komplexen Zahl $z$ festgelegt. Wir können durch den Betrag teilen und können dann davon ausgehen, dass eine komplexe Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z }
{ =} { a+b { \mathrm i} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorliegt. Es ist dann zu zeigen, dass es eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z }
{ =} { a+b { \mathrm i} }
{ =} { \cos \varphi + { \mathrm i} \sin \varphi }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {bzw. ${-1}$} {} {} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {bzw.
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \varphi }
{ = }{ \pi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} ist die einzige Lösung. Wir zeigen, dass es für ein gegebenes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ {]{-1},1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} stets genau zwei Möglichkeiten für $\varphi$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{ \cos \varphi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, und eine davon wird durch das Vorzeichen von $b$ ausgeschlossen. \fallunterscheidungzwei {Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es aufgrund von Korollar 21.4 ein eindeutiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi }
{ \in }{ [0, \pi] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ = }{ \cos \varphi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für dieses gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{ \sin \varphi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ < }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es wiederum ein eindeutiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \theta }
{ \in }{ [0, \pi] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ = }{ \cos \theta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sin \theta }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist dies aber keine Lösung für beide Gleichungen. Stattdessen erfüllt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi }
{ \defeq }{ 2 \pi - \theta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} beide Gleichungen.}

}


Die in diesem Satz beschriebene Darstellung für eine komplexe Zahl heißen ihre \stichwort {Polarkoordinaten} {.} Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ = }{ x+ { \mathrm i} y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt $r$ der \stichwort {Betrag} {} und $\varphi$ das \stichwort {Argument} {} \zusatzklammer {oder der \stichwort {Winkel} {}} {} {} von $z$.

Der Satz sagt insbesondere, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {[0,2 \pi[} { \R^2 } {\varphi} { (\cos \varphi, \sin \varphi) } {,} eine Parametrisierung des Einheitskreises liefert. Zu $\varphi$ gehört also ein eindeutig bestimmter Punkt des Einheitskreises. Wir werden später sehen, dass $\varphi$ die Länge des Kreisbogens zwischen
\mathl{(1,0)}{} und dem Punkt
\mathl{(\cos \varphi, \sin \varphi)}{} ist. Das bedeutet, dass $\varphi$ der Winkel im Bogenmaß ist. Die Grundidee des Winkels ist es, eine Paar aus zwei Halbgeraden gleichmäßig unterteilen zu können. Diese Homogenitätseigenschaft wird durch das Argument $\varphi$ erfüllt.





\inputfaktbeweis
{Einheitskreis/Argument als Winkel/Homogenität/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi, \psi }
{ \in }{ [0,2 \pi[ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann hängt der \zusatzklammer {euklidische} {} {} Abstand zwischen
\mathdisp {( \cos \varphi , \sin \varphi ) \text{ und } ( \cos \left( \varphi+ \psi \right) , \sin \left( \varphi+\psi \right) )} { }
nur von $\psi$ ab.}
\faktzusatz {Insbesondere wird der Kreisbogen zwischen
\mathdisp {( 1,0 ) \text{ und } ( \cos \varphi , \sin \varphi )} { }
durch
\mathbed {\left( \cos \left( { \frac{ j }{ n } } \varphi \right) , \sin \left( { \frac{ j }{ n } } \varphi \right) \right)} {}
{j=0 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,} in
\mathl{n+1}{} Punkte derart unterteilt, dass benachbarte Punkte den gleichen Abstand besitzen.}
\faktzusatz {}

}
{

Der euklidische Abstand zwischen den beiden Punkten ist
\mathdisp {\sqrt{ { \left( \cos \left( \varphi + \psi \right) - \cos \varphi \right) }^2 + { \left( \sin \left( \varphi + \psi \right) - \sin \varphi \right) }^2 }} { . }
Unter Verwendung der Additionstheoreme kann man den Radikanden umformen zu
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ }
{ \,\,\,\,\,\,} { { \left( \cos \varphi \cos \psi - \sin \varphi \sin \psi- \cos \varphi \right) }^2 + { \left( \sin \varphi \cos \psi + \sin \psi \cos \varphi - \sin \varphi \right) }^2 }
{ =} { \cos^{ 2 } \varphi \cos^{ 2 } \psi + \sin^{ 2 } \varphi \sin^{ 2 } \psi + \cos^{ 2 } \varphi + \sin^{ 2 } \varphi \cos^{ 2 } \psi + \sin^{ 2 } \psi \cos^{ 2 } \varphi + \sin^{ 2 } \varphi }
{ \,\,\,\,\,\,} {- 2 \cos \varphi \cos \psi \sin \varphi \sin \psi - 2 \cos^{ 2 } \varphi \cos \psi +2 \sin \varphi \sin \psi \cos \varphi }
{ \,\,\,\,\,\,} { + 2 \sin \varphi \cos \psi \sin \psi \cos \varphi - 2 \sin^{ 2 } \varphi \cos \psi -2 \sin \varphi \sin \psi \cos \varphi }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 1-2 \cos \psi + \cos^{ 2 } \psi + \sin^{ 2 } \psi }
{ =} { 2 -2 \cos \psi }
{ } { }
{ } {}
} {}{.}

}





\inputfaktbeweis
{Komplexe Zahlen/Polarkoordinaten/Multiplikation/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Für zwei komplexe Zahlen
\mathl{z_1= r_1 e^{ { \mathrm i} \varphi_1}}{} und
\mathl{z_2= r_2 e^{ { \mathrm i} \varphi_2}}{} ist}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z_1z_2 }
{ =} { r_1r_2 e^{ { \mathrm i} (\varphi_1 + \varphi_2) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {Zwei komplexe Zahlen
\mathl{\neq 0}{} werden also miteinander multipliziert, indem man ihre Beträge in $\R_+$ multipliziert und ihre Argumente \zusatzklammer {Winkel} {} {} addiert.}
\faktzusatz {}

}
{

Die Aussage ist ein Spezialfall von Satz 15.7, die Interpretation als Winkel beruht auf Satz 21.6.

}







\zwischenueberschrift{Wurzeln aus komplexen Zahlen}





\inputfaktbeweis
{Komplexe Zahlen/Beliebige Wurzel/Über Polarkoordinaten/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine komplexe Zahl $w$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w^n }
{ =} { z }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Lösung, sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach Satz 21.6 gibt es eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z }
{ =} { r e^{ { \mathrm i} \varphi} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ = }{ r^{1/n} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die reelle $n$-te Wurzel von $r$, die nach Satz 13.6 existiert. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ = }{ s e^{ \frac { { \mathrm i} \varphi }{n} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist nach Satz 15.7
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w^n }
{ =} { { \left( s e^{ \frac{ { \mathrm i} \varphi }{n} } \right) }^n }
{ =} { s^n { \left( e^{ \frac { { \mathrm i} \varphi }{n} } \right) }^n }
{ =} { r e^{n \frac{ { \mathrm i} \varphi}{n} } }
{ =} { r e^{ { \mathrm i} \varphi } }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { z }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}

}

Diese letzte Aussage besagt, dass jedes Polynom der Form
\mathl{X^n-z}{} in ${\mathbb C}$ mindestens eine Nullstelle besitzt. Insofern handelt es sich dabei um eine Vorstufe für den Fundamentalsatz der Algebra. Ein wichtiger Spezialfall liegt bei
\mathl{z=1}{} vor. Man spricht von \stichwort {komplexen Einheitswurzeln} {.}




\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann heißen die komplexen Nullstellen des \definitionsverweis {Polynoms}{}{}
\mathdisp {X^n-1} { }
$n$-te \definitionswort {komplexe Einheitswurzeln}{.}

}

Die $1$ ist für jedes $n$ eine $n$-te komplexe Einheitswurzel, und die $-1$ ist für jedes gerade $n$ eine $n$-te komplexe Einheitswurzel.





\inputfaktbeweis
{Kreisteilungsgleichung über C/Explizite Beschreibung/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Die Nullstellen des Polynoms
\mathl{X^n-1}{} über ${\mathbb C}$ sind
\mathbeddisp {e^{2 \pi { \mathrm i} k / n} = \cos { \frac{ 2 \pi k }{ n } } + { \mathrm i} \sin { \frac{ 2 \pi k }{ n } }} {}
{k=0,1 , \ldots , n-1} {}
{} {} {} {.}}
\faktzusatz {In
\mathl{{\mathbb C}[X]}{} gilt die Faktorisierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n-1 }
{ =} { (X-1)(X- e^{2 \pi { \mathrm i} / n}) { \cdots }(X- e^{2 \pi { \mathrm i} (n-1) /n}) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( e^{ 2 \pi { \mathrm i} k /n} \right) }^n }
{ =} { e^{ 2 \pi { \mathrm i} k } }
{ =} { { \left( e^{ 2 \pi { \mathrm i} } \right) }^k }
{ =} { 1^k }
{ =} { 1 }
} {}{}{.} Die angegebenen komplexen Zahlen sind also wirklich Nullstellen des Polynoms
\mathl{X^n-1}{.} Diese Nullstellen sind alle untereinander verschieden, da aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e^{2 \pi { \mathrm i} k/n} }
{ =} { e^{2 \pi { \mathrm i} \ell/n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq} { k }
{ \leq} { \ell }
{ \leq} { n-1 }
{ } { }
} {}{}{} sofort durch betrachten des Quotienten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e^{2 \pi { \mathrm i} ( \ell -k )/n} }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt, und daraus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell - k }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es gibt also $n$ explizit angegebene Nullstellen und daher müssen dies alle Nullstellen des Polynoms sein. Die explizite Beschreibung in Koordinaten folgt aus der eulerschen Formel. Die Faktorzerlegung folgt aus Lemma 11.6.

}


Es gibt also insbesondere genau $n$ $n$-te komplexe Einheitswurzel. Die komplexen Einheitswurzeln bilden nach Lemma 21.7 die Ecken eines regelmäßigen $n$-Ecks, wobei die Eckpunkte auf dem Einheitskreis liegen und
\mathl{(1,0)}{} dazugehört.




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {3rd_roots_of_unity.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { 3rd roots of unity.svg } {} {Marek Schmidt und Nandhp} {Commons} {PD} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {8th-root-of-unity.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { 8th-root-of-unity.jpg } {} {Marek Schmidt} {Commons} {PD} {}