Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil II/Vorlesung 42/latex
\setcounter{section}{42}
\zwischenueberschrift{Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten - Lösungsverfahren}
Es sei eine homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten gegeben, d.h.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer konstanten Matrix
\mathdisp {M= \begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\
a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n 1 } & a_{ n 2 } & \ldots & a_{ n n } \end{pmatrix} \text{ mit } a_{ij} \in {\mathbb K}} { . }
Wir lassen hier also auch den Fall zu, dass die Einträge komplexe Zahlen sind. Beim Auffinden der Lösungen zu einer reellen Matrix ist es nämlich hilfreich, die reellen Zahlen als komplexe Zahlen aufzufassen, um dort Umformungen durchzuführen, die im Reellen nicht möglich sind. Die Lösungen werden aber nach wie vor auf reellen Intervallen definiert sein.
Ausgeschrieben liegt also das Differentialgleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} v'_1 \\\vdots\\ v'_n \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11}v_1 + \cdots + a_{1n}v_n \\\vdots\\ a_{n1}v_1 + \cdots + a_{nn}v_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor. Solche Systeme lassen sich mit Hilfe der linearen Algebra auf eine Folge von inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen zurückführen und damit sukzessive lösen. Das folgende einfache Lemma gibt bereits einen deutlichen Hinweis dadrauf, dass lineare Eigenschaften der Matrix $M$ eng mit den Lösungen des Differentialgleichungssystems zusammenhängen.
\inputfaktbeweis
{Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Eigenvektor/Lösung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{}{}}
\faktvoraussetzung {und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \in }{{\mathbb K}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zu $M$ zum Eigenwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {v} { \R } { {\mathbb K}^n
} {t} { c e^{\lambda t} u = c \begin{pmatrix} e^{\lambda t} u_1 \\ \vdots\\ e^{\lambda t} u_n \end{pmatrix}
} {,}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{c
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
dieses
\definitionsverweis {Differentialgleichungssystems}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ v'(t)
}
{ =} { \begin{pmatrix} ce^{\lambda t} u_1 \\\vdots\\ ce^{\lambda t} u_n \end{pmatrix} '
}
{ =} { \begin{pmatrix} ( ce^{\lambda t} u_1)' \\\vdots\\ ( ce^{\lambda t} u_n )' \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \lambda c e^{\lambda t} u_1 \\\vdots\\ \lambda ce^{\lambda t} u_n \end{pmatrix}
}
{ =} { \lambda c e^{\lambda t} \begin{pmatrix} u_1 \\\vdots\\ u_n \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { M { \left( c e^{\lambda t} \begin{pmatrix} u_1 \\\vdots\\ u_n \end{pmatrix} \right) }
}
{ =} { M \begin{pmatrix} ce^{\lambda t} u_1 \\\vdots\\ ce^{\lambda t} u_n \end{pmatrix}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{}{.} Dann nennt man das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det { \left( t E_n - M \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auch das
\definitionswort {charakteristische Polynom}{}
der Differentialgleichung.
}
Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind nach Satz Anhang A.3 \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} von $M$ und liefern somit nach Lemma 42.1 Lösungen des Differentialgleichungssystems.
\inputbemerkung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' +a_0 y
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine lineare
\definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung}{}{}
mit konstanten Koeffizienten und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das zugehörige System von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten, also mit der Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots& \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ldots & \ldots & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & \ldots & \ldots & 0 & 1\\
-a_{0} & -a_1 & \ldots & \ldots & -a_{n-2} & -a_{n-1}
\end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das zu dieser Matrix gehörige charakteristische Polynom ist
nach Aufgabe 42.10
gleich
\mathdisp {X^n +a_{n-1}X^{n-1} + \cdots + a_1 X+a_0} { . }
D.h. man kann dieses Polynom direkt aus der eingangs gegebenen Differentialgleichung höherer Ordnung ablesen.
}
\inputbeispiel{}
{
Zu einer linearen
\definitionsverweis {gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung}{}{}
mit konstanten Koeffizienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime} +a_1 y^\prime + a_0 y
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
gleich
\mathdisp {t^2 +a_1t+a_0} { . }
Dessen Nullstellen sind einfach zu bestimmen, es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ t_{1,2}
}
{ =} { - { \frac{ a_1 }{ 2 } } \pm \sqrt{ { \frac{ a_1^2 }{ 4 } } -a_0 }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} Nun untersuchen wir systematisch, wie man Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten löst.
\inputfaktbeweis
{Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Basiswechsel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{}{,} es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} { BMB^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\maabbeledisp {v} {\R} { {\mathbb K} ^n
} {t} {v(t)
} {,}
genau dann eine
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v'
}
{ = }{Mv
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{ Bv
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösung der Differentialgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w'
}
{ = }{ Nw
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei vorausgesetzt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dann gelten für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{Bv
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ = }{ (b_{ij})_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichungen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ w'(t)
}
{ =} { \begin{pmatrix} w_1'(t) \\\vdots\\ w_n'(t) \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} (b_{11} v_1(t) + \cdots + b_{1n}v_n(t))' \\\vdots\\ (b_{n1} v_1(t) + \cdots + b_{nn} v_n(t))' \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} b_{11} v'_1(t) + \cdots + b_{1n}v'_n(t) \\\vdots\\ b_{n1} v'_1(t) + \cdots + b_{nn} v'_n(t) \end{pmatrix}
}
{ =} { B \begin{pmatrix} v_1'(t) \\\vdots\\ v_n'(t) \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { BM \begin{pmatrix} v_1(t) \\\vdots\\ v_n(t) \end{pmatrix}
}
{ =} { BMB^{-1} \begin{pmatrix} w_1(t) \\\vdots\\ w_n(t) \end{pmatrix}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
sodass $w$ die Differentialgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w'
}
{ =} {Nw
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
löst. Die inverse Transformation zeigt, dass zu einer Lösung von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w'
}
{ = }{ Nw
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abbildung
\mathl{B^{-1}w}{} eine Lösung für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v'
}
{ = }{Mv
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
\inputfaktbeweis
{Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/C/Lösbarkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{\operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb C})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb C})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem
\mathdisp {w'=Nw \text{ mit } N=BMB^{-1}} { }
obere Dreiecksgestalt besitzt, also von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} w'_1 \\w'_2\\ \vdots\\w'_{n-1}\\ w_n' \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\ 0 & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & c_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_1 \\w_2\\ \vdots\\w_{n-1}\\ w_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ c_{ij}
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
ist.}
\faktzusatz {Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem
Lösungsverfahren
für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_i(t_0)
}
{ = }{ a_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{ 1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von
Satz Anhang A.4
ist die Matrix $M$
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{,}
d.h. es gibt eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb C})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ N
}
{ =} { BMB^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {obere Dreiecksgestalt}{}{}
besitzt. Das lineare Differentialgleichungssystem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w'
}
{ = }{ Nw
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt also die angegebene Gestalt, und es ist wegen
Lemma 42.5
äquivalent zum ursprünglichen System. Das System in oberer Dreiecksgestalt löst man wie in
Lemma 41.6
beschrieben.
\teilbeweis {}{}{}
{Eine Anfangsbedingung für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v'
}
{ = }{ Mv
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
übersetzt sich direkt in eine Anfangsbedingung für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w'
}
{ = }{ Nw
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In dem soeben beschriebenen Lösungsverfahren gibt es dann jeweils eine Anfangsbedingung für die inhomogenen Differentialgleichungen, sodass die Lösungen jeweils nach
Satz 29.10
eindeutig sind.}
{}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {lineare Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 5 & 9 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
der Matrix ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} t-5 & -9 \\ 1 & t+1 \end{pmatrix}
}
{ =} { (t-5)(t+1)+9
}
{ =} { t^2-4t+4
}
{ =} { (t-2)^2
}
}
{}{}{.}
Das bedeutet, dass $2$ ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
der Matrix mit
\definitionsverweis {algebraischer Vielfachheit}{}{}
$2$ ist. Der Kern der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3 & -9 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}} { }
ist von
\mathl{\begin{pmatrix} 3 \\-1 \end{pmatrix}}{} erzeugt, dies ist also ein einfacher
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
und die
\definitionsverweis {geometrische Vielfachheit}{}{}
des Eigenwertes ist $1$. Aus
Lemma 42.1
ergibt sich direkt die Lösung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(t)
}
{ =} { e^{2t} \begin{pmatrix} 3 \\-1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Um alle Lösungen zu finden, arbeiten wir mit
Lemma 42.5
und mit
Satz 42.6.
Wir verwenden die Basis
\mathkor {} {\begin{pmatrix} 3 \\-1 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} -5 \\2 \end{pmatrix}} {}
\zusatzklammer {der zweite Vektor ist gewählt, um Jordanform zu erreichen, was aber für das Lösungsverfahren nicht wesentlich ist} {} {}
und berechnen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B^{-1}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N
}
{ =} { BMB^{-1}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 9 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
}
}
{}{}{.}
Für das transformierte System
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w'
}
{ = }{Nw
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich direkt die Lösung
\mathl{e^{2t} \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}}{.} Um eine weitere Lösung zu erhalten muss man mit einer nichttrivialen Lösung der zweiten Zeile
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w_2 '
}
{ = }{ 2 w_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
starten, also mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w_2(t)
}
{ = }{ e^{2t}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die erste Zeile führt dann auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w_1'(t)
}
{ =} { 2 w_1(t) + w_2(t)
}
{ =} { 2 w_1(t) + e^{2t}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die zugehörige homogene Gleichung hat die Lösung $e^{2t}$, gemäß
Satz 29.10
brauchen wir eine Stammfunktion von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e^{-2t} e^{2t}
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Eine solche ist $t$ und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w_2(t)
}
{ =} { te^{2t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Lösung in der ersten Komponenten. Eine zweite Lösung ist also
\mathdisp {\begin{pmatrix} te^{2t} \\ e^{2t} \end{pmatrix}} { . }
Um Lösungen für das ursprüngliche System zu erhalten, müssen wir mit $B^{-1}$ zurücktransformieren. Aus der ersten Lösung erhält man die schon bekannte Lösung zum Eigenvektor und aus der soeben gefundenen Lösung erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi(t)
}
{ =} { B^{-1} \begin{pmatrix} te^{2t} \\ e^{2t} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} te^{2t} \\ e^{2t} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 3 te^{2t} -5 e^{2t} \\-te^{2t} +2e^{2t} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputbemerkung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } (\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{}{} und es sei
\maabbdisp {z} {\R} { {\mathbb C}^n} {}
eine komplexwertige Lösung dieser Differentialgleichung. Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z(t)
}
{ = }{ u(t) + { \mathrm i} v(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{u,v}{} differenzierbare Kurven im $\R^n$ sind, und die Real- bzw. Imaginärteil der Funktion heißen. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\overline{z}(t)
}
{ =} { u(t) - { \mathrm i} v(t)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {konjugiert-komplexe}{}{}
Funktion zu $z$. Dann ist wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M \overline{z(t)}
}
{ =} { \overline{M} \overline{z(t)}
}
{ =} { \overline{z'(t)}
}
{ =} { \overline{z}'(t)
}
{ } {
}
}
{}{}{}
auch $\overline{z}$ eine Lösungsfunktion. Wegen
\mathdisp {u(t) = { \frac{ z(t)+ \overline{z} (t) }{ 2 } } \text{ und } v(t) = { \frac{ z(t)- \overline{z} (t) }{ 2 { \mathrm i} } }} { }
sind auch Real- und Imaginärteil von $z$ Lösungsfunktionen
\zusatzklammer {und zwar reellwertige} {} {.}
}
\inputfaktbeweis
{Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/R/Lösbarkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } (\R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{}{} mit der Anfangsbedingung
\mathbed {v(t_0)=u \in \R^n} {}
{t_0 \in \R} {}
{} {} {} {.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es genau eine auf $\R$ definierte
\definitionsverweis {Lösung}{}{}
\maabbdisp {v} {\R} {\R^n
} {}
für dieses Anfangswertproblem.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von
Satz 42.6
gibt es eine eindeutige komplexwertige Lösung
\maabbdisp {v} {\R} {{\mathbb C}^n
} {}
für dieses Differentialgleichungssystem. Da eine reellwertige Lösung insbesondere eine komplexwertige Lösung ist, liegt Eindeutigkeit vor. Der
\definitionsverweis {Realteil}{}{}
der komplexen Lösung, also
\maabbeledisp {\operatorname{Re} \, { \left( v \right) }} {\R} {\R^n
} {t} {
\operatorname{Re} \, { \left( v(t) \right) }
} {,}
ist ebenfalls eine Lösung dieses Systems. Wegen der Eindeutigkeit muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{
\operatorname{Re} \, { \left( v \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sein.
\inputfaktbeweis
{Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/K/Lösungsraum hat Dimension/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{\operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Menge der
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { \R } { {\mathbb K}^n
} {}
ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dass der Lösungsraum ein ${\mathbb K}$-Vektorraum ist, kann man direkt nachrechnen. Aufgrund von
Satz 42.6
bzw.
Satz 42.9
gibt es zu jedem Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ {\mathbb K}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau eine Lösung
\maabbdisp {\varphi} { \R } { {\mathbb K}^n
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(0)
}
{ =} {w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Zuordnung, die eine Lösung $\varphi$ der Differentialgleichung auf den Ortspunkt $\varphi(0)$ abbildet, ist linear, sodass eine
\definitionsverweis {lineare Isomorphie}{}{}
zwischen dem Lösungsraum und ${\mathbb K}^n$ vorliegt.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{\operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{}{.} Dann heißt eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des Lösungsraumes ein \definitionswort {Fundamentalsystem von Lösungen}{} dieses Systems.
}
\inputfaktbeweis
{Lineares Differentialgleichungssystem/Konstante Koeffizienten/Diagonalisierbar/Lösbarkeit/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} {Mv
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb K})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Die Matrix $M$ sei
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} mit den linear unabhängigen Eigenvektoren
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich
\mathdisp {{ \left\{ c_1e^{ \lambda_1 t } \cdot u_1 + \cdots + c_n e^{ \lambda_n t } \cdot u_n \mid c_i \in {\mathbb K} \right\} }} { , }
wobei $\lambda_i$ der Eigenwert zu $u_i$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Lemma 42.1 und aus Korollar 42.10.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {lineare Differentialgleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}'
}
{ =} { \begin{pmatrix} \lambda & \gamma \\ 0 & \mu \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_2(t)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {also die konstante Nullfunktion in der zweiten Komponente} {} {}
ergibt sich aus der ersten Zeile
\zusatzklammer {bis auf skalare Vielfache} {} {}
sofort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_1
}
{ = }{e^{\lambda t}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was insgesamt der Lösung
\zusatzklammer {der ersten Fundamentallösung} {} {}
\mathdisp {\begin{pmatrix} e^{\lambda t} \\0 \end{pmatrix}} { }
zum Eigenvektor
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}}{} gemäß
Lemma 42.1
entspricht.
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_2
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann führt die zweite Zeile zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_2
}
{ = }{ e^{\mu t}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was wir
Satz 42.6
entsprechend zu einer Gesamtlösung fortsetzen. Die erste Zeile lautet somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_1'
}
{ =} { \lambda v_1 + \gamma e^{\mu t}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Lösung der
\definitionsverweis {zugehörigen homogenen Gleichung}{}{}
ist
\mathl{c \cdot e^{\lambda t}}{,} sodass sich mit der
Variation der Konstanten
der Ansatz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_1(t)
}
{ = }{c(t) \cdot e^{\lambda t}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c'(t)
}
{ =} { \gamma \cdot e^{\mu t} \cdot e^{- \lambda t}
}
{ =} { \gamma \cdot e^{( \mu- \lambda) t}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu
}
{ = }{ \lambda
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c(t)
}
{ = }{ \gamma t
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit die zweite Fundamentallösung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t)
}
{ =} { \begin{pmatrix} \gamma t e^{\lambda t} \\e^{\lambda t} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört diese zweite Lösung nicht zu einem Eigenvektor.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu
}
{ \neq }{ \lambda
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c(t)
}
{ = }{ { \frac{ \gamma }{ \mu - \lambda } } e^{(\mu - \lambda)t}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit die zweite Fundamentallösung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v(t)
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ \gamma }{ \mu - \lambda } } e^{\mu t} \\e^{\mu t} \end{pmatrix}
}
{ =} { e^{\mu t} \begin{pmatrix} { \frac{ \gamma }{ \mu - \lambda } } \\1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist wieder eine Lösung, die zu einem Eigenvektor gehört.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die Bewegung eines Punktes auf der Geraden, wobei die Lage des Punktes proportional zur auf ihn wirkenden Kraft
\zusatzklammer {bzw. Beschleunigung} {} {}
in Richtung des Nullpunkts sein soll. Wenn der Punkt sich in $\R_+$ befindet und sich in die positive Richtung bewegt, so wirkt diese Kraft bremsend, wenn er sich in die negative Richtung bewegt, so wirkt die Kraft beschleunigend. Mit der Proportionalitätskonstante $1$ gelangt man zur
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichung}{}{}
\zusatzklammer {zweiter Ordnung} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{\prime \prime}
}
{ =} { -y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die diesen Bewegungsvorgang beschreibt. Als Anfangsbedingung wählen wir
\mathkor {} {y(0)=0} {und} {y'(0)=v} {,}
zum Zeitpunkt $0$ soll die Bewegung also durch den Nullpunkt gehen und dort die Geschwindigkeit $v$ besitzen. Man kann sofort die Lösung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y(t)
}
{ =} { v \cdot \sin t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
angeben. Wir werden diese Lösung mit den Lösungsmethoden für lineare Differentialgleichungen herleiten. Die Differentialgleichung führt zum linearen Differentialgleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} y_0' \\y_1' \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} y_1 \\-y_0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_0 \\y_1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+1
}
{ =} {(x- { \mathrm i} ) (x+ { \mathrm i} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und Eigenvektoren sind
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\ { \mathrm i} \end{pmatrix}}{}
\zusatzklammer {zum Eigenwert ${ \mathrm i}$} {} {}
und
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\- { \mathrm i} \end{pmatrix}}{}
\zusatzklammer {zum Eigenwert $- { \mathrm i}$} {} {.}
Die
\definitionsverweis {allgemeine komplexe Lösung}{}{}
ist also nach
Korollar 42.12
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} y_0(t) \\y_1(t) \end{pmatrix}
}
{ =} { c_1 e^{ { \mathrm i} t} \begin{pmatrix} 1 \\ { \mathrm i} \end{pmatrix} +c_2 e^{- { \mathrm i} t} \begin{pmatrix} 1 \\- { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei letztlich nur der Realteil der ersten Zeile interessiert. Die Anfangsbedingung führt zu
\mathdisp {c_1+c_2 = 0 \text{ und } c_1 { \mathrm i} - c_2 { \mathrm i} = v} { . }
Also ist
\mathkor {} {c_2=-c_1} {und} {c_1 = \frac{v}{2 { \mathrm i} }} {.}
Daher ist die Lösung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{v}{2 { \mathrm i} } e^{ { \mathrm i} t} - \frac{v}{2 { \mathrm i} } e^{- { \mathrm i} t}
}
{ =} { v \cdot \sin t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nach
Satz 15.10.
}
Mit den linearen Methoden kann man auch die folgende Aussage beweisen.
\inputfakt{Gewöhnliche Differentialgleichung/Höhere Ordnung/Charakteristisches Polynom zerfällt/Fundamentalsystem/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^{(n)} + a_{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' +a_0 y
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine lineare
\definitionsverweis {gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung}{}{}
mit konstanten Koeffizienten und}
\faktvoraussetzung {das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} zerfalle in Linearfaktoren,
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{P
}
{ =} {X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_1X +a_0
}
{ =} {(X- \lambda_1)^{\nu_1} \cdots (X- \lambda_k)^{\nu_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
wobei die $\lambda_i$ verschieden seien.}
\faktfolgerung {Dann bilden die Funktionen
\mathdisp {t^{j} e^{ \lambda_i t} ,\, i=1 , \ldots , k,\, j=0 , \ldots , \nu_i -1,} { }
ein Fundamentalsystem für diese Differentialgleichung.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}