Kurs:Analysis (Osnabrück 2021-2023)/Teil II/Vorlesung 36/latex
\setcounter{section}{36}
\zwischenueberschrift{Weitere Stetigkeitsbegriffe}
Bei der Stetigkeit von Abbildungen zwischen metrischen Räumen weiß man lediglich, dass jede gewünschte Zielgenauigkeit durch eine gewisse Startgenauigkeit erreicht werden kann, wobei die Beziehung zwischen Ziel- und Startgenauigkeit vom jeweiligen Punkt abhängt. Wir führen einige stärkere Stetigkeitsbegriffe ein, bei denen es einen globaleren Zusammenhang zwischen Ziel- und Startgenauigkeiten gibt.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} { L} { M
} {x} {f(x)
} {,}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {L} {und} {M} {.} Dann heißt $f$ \definitionswort {gleichmäßig stetig}{,} wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit folgender Eigenschaft gibt: Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,x'
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x, x' \right) }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(x') \right) }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} { L} { M
} {x} {f(x)
} {,}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {L} {und} {M} {.} Die Abbildung heißt \definitionswort {Lipschitz-stetig}{,} wenn es eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \geq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(y) \right) }
}
{ \leq} { c \cdot d { \left( x, y \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,y
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
Eine solche Zahl $c$ heißt \stichwort {Lipschitz-Konstante} {.} Lipschitz-stetige Funktionen mit einer Lipschitz-Konstanten $< 1$ bekommen einen eigenen Namen.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\maabbeledisp {f} { L} { M
} {x} {f(x)
} {,}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {metrischen Räumen}{}{}
\mathkor {} {L} {und} {M} {.} Dann heißt $f$ \definitionswort {stark kontrahierend}{,} wenn es eine nichtnegative
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(y) \right) }
}
{ \leq} { c \cdot d { \left( x, y \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} Die Zahl $c$ nennt man auch einen \stichwort {Kontraktionsfaktor} {.}
\zwischenueberschrift{Der Banachsche Fixpunktsatz}
Wenn man eine Karte von Osnabrück in die Osnabrücker Reithalle legt und einen beliebigen Punkt von Osnabrück nimmt, so definiert dieser Punkt einen Punkt auf der Karte und damit auch den zugehörigen Punkt in der Reithalle. Diesem Punkt entspricht ein Kartenpunkt, der wiederum ein Punkt in der Reithalle ist, und so weiter. Man erhält also eine Folge von Punkten, die
\zusatzgs {abhängig vom Maßstab} {}
schnell konvergiert, und zwar gegen einen Punkt, der mit seinem Punkt auf der Karte übereinstimmt. Diese Beobachtung wird im \stichwort {Banachschen Fixpunktsatz} {} präzisiert.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und
\maabbdisp {f} {M} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {Fixpunkt}{} der Abbildung.
}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$M$ heißt \definitionswort {Cauchy-Folge}{,} wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem
\mathbed {\epsilon \in \R} {}
{\epsilon >0} {}
{} {} {} {,}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_0
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n,m
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( x_n, x_m \right) }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
\inputdefinition
{}
{
Ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{} $M$ heißt \definitionswort {vollständig}{,} wenn jede \definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{} in $M$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
Der euklidische Raum $\R^n$ und jede abgeschlossene Teilmenge davon ist vollständig, siehe Aufgabe 36.9 und Aufgabe 36.22.
\inputfaktbeweis
{Banachscher Fixpunktsatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ ein nicht-leerer
\definitionsverweis {vollständiger}{}{}
\definitionsverweis {metrischer Raum}{}{}
und
\maabbdisp {f} {M} {M
} {}}
\faktvoraussetzung {eine
\definitionsverweis {stark kontrahierende}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besitzt $f$ genau einen
\definitionsverweis {Fixpunkt}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathbed {c \in \R} {}
{0 \leq c < 1} {}
{} {} {} {,}
ein Kontraktionsfaktor, d.h. es gelte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x), f(y) \right) }
}
{ \leq} { c \cdot d { \left( x, y \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} \teilbeweis {}{}{}
{Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Fixpunkte sind, so folgt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(x,y)
}
{ =} {d(f(x),f(y))
}
{ \leq} {c \cdot d(x,y)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sofort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(x,y)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
es kann also maximal einen Fixpunkt geben.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein beliebiger Punkt. Wir betrachten die durch
\mathdisp {x_0=x \text{ und } x_n \defeq f^n(x) \defeq f(x_{n-1})} { }
\definitionsverweis {rekursiv definierte}{}{}
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $M$. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a
}
{ =} { d { \left( f(x), x \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann gilt für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( f^{n+1}(x), f^n(x) \right) }
}
{ \leq} { c \cdot d { \left( f^n(x), f^{n-1}(x) \right) }
}
{ \leq} { c^n \cdot d { \left( f(x), x \right) }
}
{ =} { c^{n} a
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher gilt aufgrund der
\definitionsverweis {Dreiecksungleichung}{}{}
und der
geometrischen Reihe
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ d { \left( f^n(x), f^m(x) \right) }
}
{ \leq} { d { \left( f^{n} (x), f^{n-1} (x) \right) } + d { \left( f^{n-1} (x), f^{n-2} (x) \right) } + \cdots + d { \left( f^{m+1} (x), f^{m}(x) \right) }
}
{ \leq} { a \left( c^{n-1}+c^{n-2} + \cdots + c^{m+1} +c^m \right)
}
{ =} { a c^m \left( c^{n-m-1}+c^{n-m-2} + \cdots + c^{2} +c^1+1 \right)
}
{ \leq} {c^m a \frac{1}{1-c}
}
}
{}{}{.}
Zu einem gegebenen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wählt man $n_0$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c^{n_0} a { \frac{ 1 }{ 1-c } }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies zeigt, dass eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
vorliegt, die aufgrund der
\definitionsverweis {Vollständigkeit}{}{}
gegen ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y
}
{ \in }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}}
{}
\teilbeweis {Wir zeigen, dass dieses $y$ ein Fixpunkt ist.\leerzeichen{}}{}{}
{Die Bildfolge
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} konvergiert gegen
\mathl{f(y)}{,} da eine kontrahierende Abbildung stetig ist. Andererseits stimmt diese Bildfolge mit der Ausgangsfolge bis auf die Indizierung überein, sodass der Grenzwert $y$ sein muss.}
{}
\zwischenueberschrift{Kompaktheit}
\inputdefinition
{}
{
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {kompakt}{,} wenn sie
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
und
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
ist.
}
\inputfaktbeweis
{Kompaktheit/R^n/Charakterisierung mit konvergenten Teilfolgen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge.}
\faktfolgerung {Dann ist $T$ genau dann
\definitionsverweis {kompakt}{}{,}
wenn jede Folge in $T$ eine in $T$
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
besitzt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn $T$ nicht
\definitionsverweis {beschränkt}{}{}
ist, so gibt es zu jeder natürlichen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x_n, 0 \right) }
}
{ \geq }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Diese Folge kann keine konvergente Teilfolge besitzen. Wenn $T$ nicht
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
ist, so gibt es nach
Satz 33.16
eine Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N }
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die gegen ein
\mathl{x \in \R^m,\, x \not \in T}{,}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
Jede Teilfolge davon konvergiert ebenfalls gegen $x$, sodass es keine in $T$ konvergente Teilfolge geben kann.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun $T$ abgeschlossen und beschränkt, und sei eine Folge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N }
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Für diese Folge ist insbesondere jede Komponentenfolge
\mathl{{ \left( x_{in} \right) }_{ n \in \N }}{} beschränkt. Wir betrachten die erste Komponente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach dem
Satz von Bolzano-Weierstrass
gibt es eine Teilfolge
\mathl{{ \left( x_{n_j} \right) }_{j \in \N}}{} derart, dass die erste Komponente dieser Folge konvergiert. Aus dieser Teilfolge wählen wir nun eine weitere Teilfolge derart, dass auch die zweite Komponentenfolge konvergiert. Insgesamt erhält man durch dieses Verfahren eine Teilfolge, wo jede Komponentenfolge konvergiert. Nach
Lemma 33.14
konvergiert dann die gesamte Teilfolge in $\R^m$. Da $T$ abgeschlossen ist, liegt nach
Satz 33.16
der Grenzwert in $T$.}
{}
\inputfaktbeweis
{Kompakte Menge im R^n/Stetig/Gleichmäßig stetig/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{}
und sei
\maabbdisp {f} {T} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{}
in einen
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$M$.}
\faktfolgerung {Dann ist $f$
\definitionsverweis {gleichmäßig stetig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir nehmen an, dass $f$ nicht gleichmäßig stetig ist. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass für kein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f( U { \left( x,\delta \right) } )
}
{ \subseteq }{ U { \left( f(x),\epsilon \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt ist. Insbesondere gibt es also für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Paar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n,y_n
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( x_n, y_n \right) }
}
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
aber mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x_n), f(y_n) \right) }
}
{ \geq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Kompaktheit gibt es aufgrund von
Satz 36.9
eine
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
\mathl{(x_n)_{n \in N}}{}
\zusatzklammer {dabei ist
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ N
}
{ \subseteq }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unendlich} {} {}
von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{,} die gegen ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
Die entsprechende Teilfolge
\mathl{(y_n)_{n \in N}}{} konvergiert ebenfalls gegen $x$. Wegen der Stetigkeit konvergieren die beiden Bildfolgen
\mathl{(f(x_n))_{n \in N}}{} und
\mathl{(f(y_n))_{n \in N}}{} gegen
\mathl{f(x)}{.} Dies ergibt aber einen Widerspruch, da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d { \left( f(x_n), f(y_n) \right) }
}
{ \geq }{\epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
\inputfaktbeweis
{Kompaktheit/R^n/Stetige Abbildung/Bild wieder kompakt/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {kompakte Teilmenge}{}{}
und
\maabbdisp {f} {T} {\R^m
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
\mathl{f(T)}{} kompakt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( y_n \right) }_{n \in \N }
}
{ \in }{ f(T)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Folge}{}{,}
wobei wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y_n
}
{ = }{ f(x_n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben können. Da $T$ kompakt ist, gibt es nach
Satz 36.9
eine
\definitionsverweis {konvergente}{}{}
\definitionsverweis {Teilfolge}{}{}
\mathl{x_{n_i},\, i \in \N}{,} die gegen ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
konvergiert. Aufgrund der Stetigkeit konvergiert auch die Bildfolge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y_{n_i}
}
{ = }{ f(x_{n_i})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegen
\mathl{f(x)}{.} Damit ist eine konvergente Teilfolge gefunden und
\mathl{f(T)}{} ist kompakt nach
Satz 36.9.
\inputfaktbeweis
{Kompaktheit/R^n/Stetige Funktion/Maximum wird angenommen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine nichtleere
\definitionsverweis {kompakte}{}{}
Teilmenge und sei
\maabbdisp {f} {T} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {f(x) \geq f(x') \text { für alle } x' \in T} { . }
}
\faktzusatz {D.h., dass die Funktion ihr Maximum
\zusatzklammer {und ihr Minimum} {} {}
annimmt.}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von
Satz 36.11
ist
\mathl{f(T)}{} kompakt, also
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{}
und
\definitionsverweis {beschränkt}{}{.}
Insbesondere ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(T)
}
{ \leq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für eine reelle Zahl $M$. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt
\mathl{f(T)}{} wegen
Satz 7.5
ein
\definitionsverweis {Supremum}{}{}
$s$ in $\R$, das wegen der Abgeschlossenheit
nach Korollar 33.18
zu
\mathl{f(T)}{} gehört, also das Maximum von
\mathl{f(T)}{} ist. Daher gibt es auch ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Polynom/Betrag nimmt Minimum an/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb K}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { P(z) }
}
{ \geq} { \betrag { P(w) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {D.h. das Minimum des Betrags eines Polynoms wird angenommen.}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(z)
}
{ =} {a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \cdots + a_1z + a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a_n
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \defeq }{ {\max { \left( \betrag { a_i } , i = 0 , \ldots , n-1 \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ \defeq }{ {\max { \left( \frac{na+ \betrag { a_0 } +1}{ \betrag { a_n } } , 1 \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Aussage klar, sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für $z$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ \geq }{ r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelten die Abschätzungen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\betrag { P(z) }
}
{ \geq} { \betrag { a_nz^n } - \betrag { \sum_{i = 0}^{n-1} a_iz^{i} }
}
{ \geq} { \betrag { a_n } \betrag { z } ^{n} - \sum_{i = 0}^{n-1} \betrag { a_i } \betrag { z }^{i}
}
{ \geq} { \betrag { a_n } \betrag { z } ^{n} - \sum_{i = 0}^{n-1} a \betrag { z }^{n-1}
}
{ \geq} { \betrag { z }^{n-1} ( \betrag { a_n } \betrag { z } - n a )
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \geq} { \betrag { a_0 } +1
}
{ >} { \betrag { a_0 }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Auf der
\definitionsverweis {kompakten Menge}{}{}
\mathl{B(0,r)}{} nimmt die
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\mathl{z \mapsto \betrag { P(z) }}{} nach
Satz 36.12
ihr Minimum an, d.h. es gibt ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ B(0,r)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { P(z) }
}
{ \geq }{ \betrag { P(w) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ B(0,r)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { a_0 }
}
{ = }{ \betrag { P(0) }
}
{ \geq }{ \betrag { P(w) }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und der Überlegung für $z$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z }
}
{ \geq }{ r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich, dass im Punkt $w$ überhaupt das Minimum der Funktion angenommen wird.
\zwischenueberschrift{Der Fundamentalsatz der Algebra}
\inputfaktbeweis
{Fundamentalsatz der Algebra/Nichtkonstantes Polynom/Nullstelle/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Jedes nichtkonstante
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{{\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}}
\faktfolgerung {besitzt eine
\definitionsverweis {Nullstelle}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes Polynom. Aufgrund von
Lemma 36.13
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z_0
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { P(z) }
}
{ \geq }{ \betrag { P(z_0) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir müssen zeigen, dass dieses Betragsminimum $0$ ist. Wir nehmen also an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { P(z_0) }
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und müssen dann ein $z_1$ finden, an dem der Betrag des Polynoms kleiner wird. Durch Verschieben
\zusatzklammer {d.h. indem wir die Situation in der neuen Variablen
\mathl{z-z_0}{} betrachten} {} {}
können wir annehmen, dass das Minimum an der Stelle $0$ angenommen wird, und durch Division durch
\mathl{P(z_0)}{} können wir annehmen, dass das Polynom im Nullpunkt den Wert $1$ besitzt. D.h. wir können annehmen, dass ein Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { 1 + c_kz^k +c_{k+1}z^{k+1} + \cdots + c_dz^d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c_k
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorliegt, das im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt. Wegen
Korollar 21.9
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma^k
}
{ = }{ - c_k^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ \gamma w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {das ist eine Variablenstreckung} {} {.}
In der neuen Variablen $w$ erhalten wir ein Polynom der Form
\mathdisp {1-w^k+w^{k+1} Q(w)} { , }
das nach wie vor im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt
\zusatzklammer {hierbei ist
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ Q(w)
}
{ \in }{ {\mathbb C}[w]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom} {} {.}
Aufgrund von
Satz 36.12
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ \R_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { Q(w) }
}
{ \leq }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ B \left( 0,1 \right)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für reelles $w$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ < }{ w
}
{ < }{ {\min { \left( 1 , b^{-1} \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { 1-w^k+w^{k+1} Q(w) }
}
{ \leq} { \betrag { 1-w^k } + \betrag { w^{k+1} Q(w) }
}
{ =} { 1-w^k+w^{k+1} \betrag { Q(w) }
}
{ =} { 1-w^k(1 -w \betrag { Q(w) } )
}
{ <} { 1
}
}
{}
{}{.}
Wir haben also Stellen gefunden, wo der Betrag des Polynoms einen kleineren Wert annimmt, ein Widerspruch.