Kurs:Analysis 3/12/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	5	0	0	0	0	0	3	0	3	2	0	0	19

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine messbare Abbildung

   $\varphi \colon M\longrightarrow N$

   zwischen zwei Messräumen ${}(M,{\mathcal {A}})$ und ${}(N,{\mathcal {B}})$.

2. Der Produktraum von topologischen Räumen ${}X$ und ${}Y$.
3. Der Subgraph einer nichtnegativen numerischen Funktion

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}.$

4. ${}C^{1}$-diffeomorphe Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$.
5. Das Tangentialbündel (einschließlich der Topologie) einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
6. Das Volumenmaß zu einer positiven Volumenform ${}\omega$ auf einer ${}n$-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

Lösung

1. Die Abbildung ${}\varphi$ heißt messbar, wenn für jede messbare Menge ${}T\subseteq N$ das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ messbar ist.
2. Das Produkt der topologischen Räume ${}X$ und ${}Y$ ist die Produktmenge ${}X\times Y$ zusammen mit derjenigen Topologie, bei der eine Teilmenge  ${}W\subseteq X\times Y$  genau dann offen ist, wenn man sie als Vereinigung von Produktmengen der Form ${}U\times V$ mit offenen Mengen  ${}U\subseteq X$  und  ${}V\subseteq Y$  schreiben kann.
3. Der Subgraph ist die Menge

   ${}S(f)={\left\{(x,y)\in M\times {\overline {\mathbb {R} }}\mid 0\leq y\leq f(x)\right\}}\,.$

4. Die beiden Mannigfaltigkeiten ${}L$ und ${}M$ heißen ${}C^{k}$-diffeomorph, wenn es zwischen ihnen einen ${}C^{k}$- Diffeomorphismus gibt.
5. Das Tangentialbündel ist die Menge

   ${}TM=\biguplus _{P\in M}T_{P}M\,,$

   versehen mit der Projektionsabbildung

   $\pi \colon TM\longrightarrow M,\,(P,v)\longmapsto P$

   und derjenigen Topologie, bei der eine Teilmenge  ${}W\subseteq TM$  genau dann offen ist, wenn für jede Karte

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   die Menge ${}(T(\alpha )){\left(W\cap \pi ^{-1}(U)\right)}$ offen in ${}V\times \mathbb {R} ^{n}$ ist.

6. Für eine Borelmenge  ${}T\subseteq M$  wird das Maß von ${}T$ zu ${}\omega$ über eine abzählbare Zerlegung  ${}T=\biguplus _{i\in I}T_{i}$  (wobei ${}T_{i}\subseteq U_{i}$ ein offenes Kartengebiet und ${}\alpha _{i*}\omega =f_{i}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}$ ist)

   ${}\int _{T}\omega =\sum _{i\in I}\int _{\alpha _{i}(T_{i})}f_{i}\,d\lambda ^{n}\,$

   definiert.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. /Fakt/Name
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Lösung

1. /Fakt
2. /Fakt
3. /Fakt

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (5 Punkte)

Es seien ${}P_{1}=(a_{1},b_{1}),\,P_{2}=(a_{2},b_{2})$ und ${}P_{3}=(a_{3},b_{3})$ drei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$. Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit ${}a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},a_{3},b_{3}$ dar.

Lösung

Aufgrund der Translationsinvarianz des Flächeninhalts können wir der Punkt ${}(a_{1},b_{1})$ in den Nullpunkt verschieben, die Koordinaten der beiden anderen Punkte sind ${}(a_{2}-a_{1},b_{2}-b_{1})$ bzw. ${}(a_{3}-a_{1},b_{3}-b_{1})$. Dieses Dreieck ist das Bild des durch den Nullpunkt und die beiden Standardvektoren ${}(1,0)$ und ${}(0,1)$ gegebenen Dreiecks unter der durch die Matrix

${\begin{pmatrix}a_{2}-a_{1}&a_{3}-a_{1}\\b_{2}-b_{1}&b_{3}-b_{1}\end{pmatrix}}$

gegebenen linearen Abbildung. Das Standardreieck hat den Flächeninhalt ${}{\frac {1}{2}}$. Daher ist der Flächeninhalt des gegebenen Dreiecks nach Fakt ***** gleich

${}{\begin{aligned}\vert {\det {\begin{pmatrix}a_{2}-a_{1}&a_{3}-a_{1}\\b_{2}-b_{1}&b_{3}-b_{1}\end{pmatrix}}}\vert {\frac {1}{2}}&={\frac {1}{2}}\vert {(a_{2}-a_{1})(b_{3}-b_{1})-(a_{3}-a_{1})(b_{2}-b_{1})}\vert \\&={\frac {1}{2}}\vert {a_{2}b_{3}-a_{2}b_{1}-a_{1}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{1}b_{2}+a_{3}b_{1}}\vert \\&={\frac {1}{2}}\vert {a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}-a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}}\vert .\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die äußere Ableitung ${}d\omega$ der Differentialform

$\omega =e^{xz}dx\wedge dy-xyzdx\wedge dz+(\sin(\cos(xy))+y^{10}z^{100})dy\wedge dz$

auf dem ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}d\omega &=xe^{xz}dz\wedge dx\wedge dy-xzdy\wedge dx\wedge dz\\&\,-y\sin(xy)\cos(\cos(xy))dx\wedge dy\wedge dz\\&=(xe^{xz}+xz-y\sin(xy)\cos(\cos(xy)))dx\wedge dy\wedge dz.\end{aligned}}$

Aufgabe (0 Punkte)

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Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine stetig differenzierbare Abbildung

$\varphi \colon H\longrightarrow H$

einer euklidischen Halbebene in sich mit der Eigenschaft, dass genau ein Randpunkt von ${}H$ in einen Randpunkt und alle anderen Punkte in das Innere der Halbebene abgebildet werden.

Lösung

Wir betrachten die positive Halbebene

${}H={\left\{(x,y)\mid x\geq 0\right\}}\,$

und die Abbildung

$\varphi \colon H\longrightarrow H,\,(x,y)\longmapsto \left(x+y^{2},\,y\right).$

Als polynomiale Abbildung ist ${}\varphi$ stetig differenzierbar. Der Randpunkt ${}(0,0)$ wird auf den Randpunkt ${}(0,0)$ abgebildet. Bei allen anderen Punkten von ${}H$ ist  ${}x>0$  oder  ${}y\neq 0$  und daher stets

${}x+y^{2}>0\,,$

die erste Komponente ist also positiv.

Aufgabe (2 Punkte)

Man gebe eine kompakte Ausschöpfung für den ${}\mathbb {R} ^{d}$ an.

Lösung

Wir betrachen die abgeschlossenen Bälle ${}B\left(0,n\right)$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, die kompakt sind und die den ${}\mathbb {R} ^{d}$ überdecken. Das offene Innere von ${}B\left(0,n+1\right)$ ist der offene Ball ${}U{\left(0,n+1\right)}$ und wegen

${}B\left(0,n\right)\subseteq U{\left(0,n+1\right)}\,$

liegt eine kompakte Ausschöpfung vor.

Aufgabe (0 Punkte)

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