Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 14/latex
\setcounter{section}{14}
\zwischenueberschrift{Quasikohärente Moduln auf affinen Schemata}
Zu einem kommutativen Ring $R$ sind die $R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{} wichtig und charakteristisch für den Ring, etwa Ideale, Restklassenringe, projektive Moduln, der Modul der Kählerdifferentiale u.s.w. Diese Moduln wollen wir im Kontext des Spektrums, also in einer geometrisierten Form, wiederfinden. Der Aufbau erfolgt parallel dazu, wie die Strukturgarbe auf dem Spektrum eingeführt wird.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
über dem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Dann kann man eine
\definitionsverweis {Prägarbe}{}{}
von Moduln definieren, indem man zu einer offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Festlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal P } { \left( U \right) }
}
{ =} { \operatorname{colim}_{ U \subseteq D(f) }\, M_f
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
trifft. Dies sind Moduln über dem Ring
\mathl{\operatorname{colim}_{ U \subseteq D(f) }\, R_f}{} und es liegen natürliche Restriktionshomomorphismen vor, die mit den Modulstrukturen verträglich sind. Der Halm dieser Prägarbe in einem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ ist
\mathl{M_{\mathfrak p}}{}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {affine Schema}{}{}
eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
$R$ und sei $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Unter dem zu $M$ gehörenden
\definitionswortpraemath {{\mathcal O}_{ X }}{ Modul }{}
$\widetilde { M }$ auf $X$ versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die kommutative Gruppe
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \Gamma { \left( U, \widetilde { M } \right) }
}
{ =} { { \left\{ { \left( s_{\mathfrak p} \right) }_{ {\mathfrak p} \in U} \in \prod_{ {\mathfrak p} \in U } M_ {\mathfrak p} \mid \text{ für alle } {\mathfrak p} \in U \text{ gibt es } m \in M \text{ und } f \in R \text{ mit } {\mathfrak p} \in D(f) \subseteq U \text{ und } s_{\mathfrak q} = { \frac{ m }{ f } } \text{ in } M_{\mathfrak q} \text{ für alle } {\mathfrak q} \in D(f) \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zusammen mit der Skalarmultiplikation
\maabbeledisp {} { \Gamma (U, {\mathcal O}_X ) \times \Gamma { \left( U, \widetilde { M } \right) } } {\Gamma { \left( U, \widetilde { M } \right) }
} { { \left( { \left( g_{\mathfrak p} \right) }_{ {\mathfrak p} \in U} , { \left( s_{\mathfrak p} \right) }_{ {\mathfrak p} \in U} \right) } } { { \left( g_{\mathfrak p} s_{\mathfrak p} \right) }_{ {\mathfrak p} \in U}
} {,}
zuordnet, und wobei jeder Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die natürliche Projektion zugeordnet wird.
}
Wenn man mit dem Ring $R$ selbst startet, so erhält man die Strukturgarbe.
\inputfaktbeweis
{Spektrum/Modul/Garbe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Zu einem
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
über einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ ist $\widetilde { M }$}
\faktfolgerung {ein
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {affinen Schema}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies beruht darauf, dass $\widetilde { M }$ als
\definitionsverweis {Vergarbung}{}{}
zur
\definitionsverweis {Prägarbe}{}{}
\mathl{U \mapsto \operatorname{colim}_{ U \subseteq D(f) }\, M_f}{} definiert wird und die Modulstruktur sich auf die Vergarbung vererbt.
\inputfaktbeweis
{Affines Schema/Modul/Punkt/Halm/Lokalisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X } )}{} das
\definitionsverweis {affine Schema}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt, der dem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
${\mathfrak p}$ entspreche. Es sei $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
mit der zugehörigen Modulgarbe $\widetilde { M }$.}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Halm}{}{}
dieser Garbe gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \widetilde { M }_x
}
{ =} { M_{\mathfrak p}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ergibt sich aus Beispiel 14.1 und Lemma 5.2 (2).
\inputfaktbeweis
{Affines Schema/Modul/Hauptmenge/Nenneraufnahme/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X } )}{} das
\definitionsverweis {affine Schema}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und sei $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
mit der zugehörigen
\definitionsverweis {Modulgarbe}{}{}
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$\widetilde { M }$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( D(f), \widetilde { M } \right) }
}
{ =} { M_f
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Insbesondere ist der globale Schnittmodul gleich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( X, \widetilde { M } \right) }
}
{ = }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Wir beweisen den angeführten Spezialfall. Es gibt einen natürlichen
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabb {} {M} { \Gamma { \left( X, \widetilde { M } \right) }
} {.}
Dieser ist injektiv, da man das Nullsein eines Elementes lokal testen kann, vergleiche
Lemma Anhang 1.1.
Zum Nachweis der Surjektivität sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, \widetilde { M } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein globales Element. Dies bedeutet, dass es eine
\definitionsverweis {offene Überdeckung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X
}
{ =} { \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ =} { \bigcup_{i \in I} D(f_i)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und Elemente
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s_i
}
{ =} { { \frac{ a_i }{ f_i^{k_i} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_i
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, die als Schnitte über
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D(f_i) \cap D(f_j)
}
{ =} {D(f_if_j)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also als Elemente in
\mathl{M_{f_if_j}}{} übereinstimmen. Nach
Korollar 8.6
können wir annehmen, dass $I$ endlich ist. Ferner können wir die $k_i$ durch ihr Maximum $k$ ersetzen
\zusatzklammer {was natürlich die lokalen Zähler $a_i$ auch ändert} {} {.}
Die Verträglichkeit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ a_i }{ f_i^{k} } }
}
{ = }{ { \frac{ a_j }{ f_j^{k} } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bedeutet die Existenz von Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(f_if_j)^m a_i f_j^k
}
{ =} { (f_if_j)^m a_j f_i^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $M$, wobei wir $m$ als ein Maximum gewählt haben. Nach
Proposition 8.4 ((2), (4))
erzeugen die
\mathbed {f_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{.}
Dies gilt dann auch für die
\mathbed {f_i^{m+k}} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
d.h. es gibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g_i
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} { \sum_{i \in I} g_if_i^{m+k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ \defeq} { \sum_{i \in I} g_ia_if_i^m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist dann
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{a f_j^{m+k}
}
{ =} { { \left( \sum_{i \in I} g_ia_if_i^m \right) } f_j^{m+k}
}
{ =} { \sum_{i \in I} g_i (f_if_j)^m a_i f_j^{k}
}
{ =} { \sum_{i \in I} g_i (f_if_j)^m a_j f_i^{k}
}
{ =} { a_j f_j^m { \left( \sum_{i \in I} g_i f_i^{m+k} \right) }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { a_j f_j^m
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dies bedeutet wiederum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ { \frac{ a_j }{ f_j^k } }
}
{ = }{ s_j
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $M_{f_j}$, d.h. der Schnitt wird von einem Modulelement repräsentiert.
Wir betrachten nun die Situation auf $D(f)$. Diese entspricht aber der behandelten Situation, wenn man $M_f$ als neuen Modul ansetzt.
\inputbeispiel{}
{
Im
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{A_{-5}
}
{ = }{ \Z[\sqrt{-5}]
}
{ = }{ \Z[T]/(T^2+5)
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2 \cdot 3
}
{ =} { 6
}
{ =} { (1 +\sqrt{5} { \mathrm i} ) (1 -\sqrt{5} { \mathrm i} )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{(2,1+\sqrt{-5})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {das ein
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
ist und kein
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{}} {} {}
und die zugehörige
\definitionsverweis {Idealgarbe}{}{}
\mathl{\widetilde { I }}{} auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Das Spektrum wird durch die beiden offenen Mengen
\mathkor {} {D(2)} {und} {D(3)} {}
überdeckt. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \widetilde { I } {{|}}_{D(2)}
}
{ \cong }{ { {\mathcal O}_{ X } } {{|}} _{D(2)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da $2$ zum Ideal gehört und daher das Ideal in der Nenneraufnahme
\mathl{R_2}{} zum Einheitsideal wird. In der Nenneraufnahme $R_3$
\zusatzklammer {also auf $D(3)$} {} {}
ist hingegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2
}
{ =} { { \frac{ 1 -\sqrt{5} { \mathrm i} }{ 3 } } (1 +\sqrt{5} { \mathrm i} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit ist $I_3$ ein Hauptideal mit dem Erzeuger $1 +\sqrt{5} { \mathrm i}$. Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \widetilde { I } {{|}}_{D(3)}
}
{ \cong }{ { {\mathcal O}_{ X } } {{|}}_{D(3)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $\widetilde { I }$ ist eine
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten in der $A_{n-1}$-Singularität
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X,Y,Z]/ { \left( XY-Z^n \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{ (X,Z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es definiert auf dem
\definitionsverweis {Spektrum}{}{}
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{}
eine
\definitionsverweis {Idealgarbe}{}{}
\mathl{\widetilde { I }}{} und damit auch die eingeschränkte Idealgarbe
\mathl{\widetilde { I } {{|}}_U}{} auf dem
\definitionsverweis {quasiaffinen Schema}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { D(X,Y,Z)
}
{ =} { D(X,Y)
}
{ =} { \operatorname{Spek} { \left( R \right) } \setminus \{(X,Y,Z)\}
}
{ \subset} { \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
}
{}{}{.}
Diese eingeschränkte Idealgarbe ist auf $U$
\definitionsverweis {invertierbar}{}{,}
da wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ { \frac{ Z^{n-1} }{ Y } } Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {in $R_Y$} {} {}
\definitionsverweis {Isomorphien}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \widetilde { I } {{|}}_{D(X)}
}
{ \cong }{ {\mathcal O}_{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } {{|}}_{D(X)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \widetilde { I } {{|}}_{D(Y)}
}
{ \cong }{ {\mathcal O}_{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } {{|}}_{D(Y)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorliegen. Dagegen ist $\widetilde { I }$ auf dem gesamten Spektrum nicht invertierbar, da das Ideal in der
\definitionsverweis {Lokalisierung}{}{}
\mathl{R_{(X,Y,Z)}}{} kein Hauptideal ist.
}
\inputfaktbeweis
{Affines Schema/Moduln/Homomorphismus/Garbenversion/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X } )}{} das
\definitionsverweis {affine Schema}{}{}
zu einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ und es sei
\maabb {\varphi} {M} {N
} {}
ein
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
zwischen
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen eindeutig bestimmten
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \widetilde { M } } { \widetilde { N }
} {,}
der global mit $\varphi$ übereinstimmt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
muss wegen der Verträglichkeit mit den Restriktionen das kommutative Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} \Gamma { \left( X, \widetilde { M } \right) } = M & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & \Gamma { \left( X, \widetilde { N } \right) } = N & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ \Gamma { \left( D(f), \widetilde { M } \right) } = M_f & \stackrel{ }{\longrightarrow} & \Gamma { \left( D(f), \widetilde { N } \right) } = N_f & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
vorliegen, wodurch die untere Abbildung eindeutig festgelegt ist. Durch diese Festlegung wird sodann ein eindeutiger Prägarbenhomomorphismus und über die Vergarbung ein eindeutiger Garbenhomomorphismus festgelegt.
\inputfaktbeweis
{Affines Schema/Moduln/Exaktheit/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und es sei
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, L \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, M \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, N \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann liegt auf dem
\definitionsverweis {affinen Schema}{}{}
\mathl{(X, {\mathcal O}_{ X } )}{} zu $R$ die kurze exakte Garbensequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \widetilde { L } \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, \widetilde { M } \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, \widetilde { N } \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
von
\definitionsverweis {quasikohärenten}{}{}
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
vor.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die kurze exakte Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, L \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, M \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, N \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { }
führt zu jedem Primideal ${\mathfrak p}$ nach
Lemma Anhang 2.2
zu einer kurzen exakten Sequenz
\mathdisp {0 \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, L_{\mathfrak p} \, \stackrel{ }{ \longrightarrow} \, M_{\mathfrak p} \, \stackrel{ }{\longrightarrow} \, N_{\mathfrak p} \,\stackrel{ } {\longrightarrow} \, 0} { . }
Wegen
Lemma 14.4
ist dies die Halmversion der Modulhomomorphismen zwischen $\widetilde { L }$, $\widetilde { M }$ und $\widetilde { N }$ im Punkt ${\mathfrak p}$. Nach
Lemma 6.3
bedeutet dies die Exaktheit des Garbenkomplexes.
\inputfaktbeweis
{Affines Schema/Moduln/Tensorprodukt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
es seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
\definitionsverweis {Moduln}{}{}
über $R$ und es seien
\mathkor {} {\widetilde { M }} {und} {\widetilde { N }} {}
die zugehörigen
\definitionsverweis {Modulgarben}{}{}
auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen kanonischen
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \widetilde { M } \otimes_{ {\mathcal O}_{ X } } \widetilde { N }
}
{ =} { \widetilde { M \otimes_{ R } N }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M_f \otimes_{ R_f } N_f
}
{ = }{ { \left( M \otimes_{ R } N \right) }_f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die Prägarbe
\mathdisp {U \longmapsto \operatorname{colim}_{ U \subseteq D(f) }\, M_f \otimes_{ R_f } N_f = \operatorname{colim}_{ U \subseteq D(f) }\, { \left( M \otimes_{ R } N \right) }_f} { . }
Die Vergarbung der rechten Seite ergibt nach Definition die quasikohärente Garbe
\mathl{\widetilde { M \otimes_{ R } N }}{.} Zu offenen Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ D(f)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es kanonische
\definitionsverweis {Modulhomomorphismen}{}{}
\maabbdisp {} { M_f \otimes_{ R_f } N_f } { { \left( \operatorname{colim}_{ U \subseteq D(f) }\, M_f \right) } \otimes_{ { \left( \operatorname{colim}_{ U \subseteq D(f) }\, R_f \right) } } { \left( \operatorname{colim}_{ U \subseteq D(f) }\, N_f \right) }
} {,}
was zu einem Modulhomomorphismus
\maabbdisp {} { { \left( \operatorname{colim}_{ U \subseteq D(f) }\, M_f \otimes_{ R_f } N_f \right) } } { { \left( \operatorname{colim}_{ U \subseteq D(f) }\, M_f \right) } \otimes_{ { \left( \operatorname{colim}_{ U \subseteq D(f) }\, R_f \right) } } { \left( \operatorname{colim}_{ U \subseteq D(f) }\, N_f \right) }
} {,}
für jede offene Menge führt. Diese sind mit den Restriktionen verträglich, sodass ein Prägarbenhomomorphismus vorliegt. Dieser überträgt sich nach
Lemma 5.2 (1,5)
auf die zugehörigen Garben. Nach der Vorbemerkung ist die Vergarbung links gleich
\mathl{\widetilde { M \otimes_{ R } N }}{} und die Vergarbung der rechten Seite ist nach Definition gleich
\mathl{\widetilde { M } \otimes_{ {\mathcal O}_{ X } } \widetilde { N }}{.} Da der Homomorphismus in den Halmen ein Isomorphismus ist, liegt nach
Lemma 4.6
überhaupt ein Isomorphismus vor.
\zwischenueberschrift{Quasikohärente Moduln}
Für beliebige Schemata sind diejenigen Modulgarben besonders wichtig, die auf affinen Stücken wie $\widetilde { M }$ aussehen.
\inputdefinition
{}
{
Ein
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
${ \mathcal M }$ auf einem
\definitionsverweis {Schema}{}{}
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{} heißt
\definitionswort {quasikohärent}{,}
wenn es eine offene affine Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{ i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_i
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R_i \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
$R_i$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
$M_i$ derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal M } {{|}} {U_i}
}
{ = }{ \widetilde { M_i }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
Insbesondere ist die Strukturgarbe auf einem Schema eine quasikohärente Garbe, da sie auf den affinen offenen Mengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit $\widetilde { R }$ übereinstimmt. Invertierbare Garben sind ebenfalls quasikohärent.
Man kann zeigen, dass bei einer quasikohärenten Garbe bereits für jede offene affine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{X
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die eingeschränkte Garbe gleich der Modulgarbe zu einem Modul über dem Ring
\mathl{\Gamma (U, {\mathcal O}_X )}{} ist.
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {quasikohärenter}{}{}
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
${ \mathcal M }$ auf einem
\definitionsverweis {Schema}{}{}
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{} heißt
\definitionswort {kohärent}{,}
wenn es eine offene affine Überdeckung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{ i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mathl{\Gamma { \left( U_i, { \mathcal M } \right) }}{} ein
\definitionsverweis {endlich erzeugter}{}{}
$\Gamma (U_i, {\mathcal O}_X )$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
ist.
}
Bei einem affinen Schema
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} entsprechen sich die quasikohärenten Moduln und die $R$-Moduln. Insbesondere haben auf einem affinen Schema die quasikohärenten Moduln ${ \mathcal M }$ \anfuehrung{viele}{} globale Schnitte, mit deren Hilfe man ${ \mathcal M }$ verstehen und rekonstruieren kann. Dies gilt keineswegs für quasikohärente Garben auf nichtaffinen Schemata, insbesondere gilt es oft nicht für projektive Schemata. Dort kommt es sogar oft vor, dass für komplizierte quasikohärente Moduln die globale Auswertung der Nullmodul ist. In einem solchen Fall kann man aber mit Hilfe von geeigneten invertierbaren Garben den Modul so \anfuehrung{hindrehen}{}
\zusatzklammer {twisten} {} {,}
dass die getwistete Version globale Schnitte besitzt. Wegweisend ist der folgende allgemeine Satz. Man beachte, dass Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal L } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit ${ \mathcal L }$ invertierbar und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal M } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über die Vergarbung Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g^n s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal L }^n \otimes { \mathcal M } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definieren, wobei ${ \mathcal L }^n$ die $n$-te Tensorpotenz von ${ \mathcal L }$ bezeichnet.
\inputfaktbeweis
{Noethersches Schema/Quasikohärente Garbe/Invertierbare Garbe/Invertierbarkeitsort/Globale Ausdehnung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei ${ \mathcal M }$ ein
\definitionsverweis {quasikohärenter}{}{}
${\mathcal O}_{ X }$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {noetherschen Schema}{}{}
\mathl{{ \left( X, {\mathcal O}_{ X } \right) }}{.} Es sei ${ \mathcal L }$ eine
\definitionsverweis {invertierbare Garbe}{}{}
auf $X$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal L } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein globaler Schnitt mit dem
\definitionsverweis {Invertierbarkeitsort}{}{}
$X_g$.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Zu einem globalen Schnitt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X, { \mathcal M } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r {{|}}_{X_g}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ \in }{\N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g^m r
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{\Gamma { \left( X, { \mathcal L }^m \otimes { \mathcal M } \right) }}{.}
} {Zu einem Schnitt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X_g, { \mathcal M } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g^ns
}
{ \in} { \Gamma { \left( X_g, { \mathcal L }^n \otimes { \mathcal M } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
von einem globalen Schnitt aus
\mathl{\Gamma { \left( X , { \mathcal L }^n \otimes { \mathcal M } \right) }}{} herrührt.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \bigcup_{i \in I} U_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche offene affine Überdeckung derart, dass die Einschränkungen von ${ \mathcal L }$ auf die $U_i$ trivial sind. Wir betrachten die Situation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_i
}
{ =} {X_g \cap U_i
}
{ \subseteq} { U_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
hier ist also $V_i$ eine offene Teilmenge des affinen Schemas
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_i
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R_i \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathcal M } {{|}}_{U_i}
}
{ =} { \widetilde{M}_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem
$R_i$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M_i$. Unter dem Isomorphismus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \mathcal L } {{|}}_{U_i}
}
{ \cong }{ {\mathcal O}_{ U_i }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
entspricht die Einschränkung von $g$ auf $U_i$ einer Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f_i
}
{ \in }{R_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und für den Invertierbarkeitsort gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X_g \cap U_i
}
{ = }{ D(f_i)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Gamma { \left( V_i , { \mathcal M } \right) }
}
{ \cong} { ( M_i)_{f_i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_i
}
{ = }{ r {{|}}_{U_i}
}
{ \in }{ M_i
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Einschränkung davon auf $V_i$ ist nach Voraussetzung gleich $0$ und daher gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n_i
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_i^{m_i} r_i
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $M_i$, und dies gilt auch für alle größeren Exponenten. Übersetzt nach ${ \mathcal L }^{m_i} \otimes { \mathcal M }$ bedeutet dies, dass das globale Element
\mathl{g^{m_i} r}{} eingeschränkt auf $U_i$ gleich $0$ ist. Somit erhalten wir mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{ {\max { \left( m_i , i \in I \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein $m$ derart, dass
\mathl{g^m r}{} auf sämtlichen $U_i$ gleich $0$ wird. Aufgrund der Garbeneigenschaft ist dann
\mathl{g^m r}{} gleich $0$ auf $X$.
} {Der vorgegebene Schnitt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X_g, { \mathcal M } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liefert durch Einschränkung Schnitte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s_i
}
{ \in} { \Gamma { \left( V_i, { \mathcal M } \right) }
}
{ =} { \Gamma { \left( D(f_i), M_i \right) }
}
{ =} { { \left( M_i \right) }_{f_i}
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s_i
}
{ = }{ { \frac{ t_i }{ f_i^{\ell_i } }}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t_i
}
{ \in }{ M_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dabei kann man die $\ell_i$ erhöhen, sodass wir annehmen können, dass eine solche Darstellung für jedes $i$ mit einem gemeinsamen $\ell$ vorliegt. Dies bedeutet, dass die Einschränkungen von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g^\ell s
}
{ \in }{ \Gamma { \left( X_g, { \mathcal L }^{\ell} \otimes { \mathcal M } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{X_g \cap U_i}{} jeweils von einem Element
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t_i
}
{ \in} { \Gamma { \left( U_i , { \mathcal L }^{\ell} \otimes { \mathcal M } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
herrühren. Die $t_i$ sind im Allgemeinen nicht verträglich. Es ist aber die Einschränkung von
\mathl{t_i-t_j}{} auf
\mathl{X_g \cap U_i \cap U_j}{} gleich $0$. Nach dem ersten Teil, angewendet auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X_g \cap U_i \cap U_j
}
{ \subseteq }{ U_i \cap U_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
ergibt sich, dass es ein $m_{ij}$ derart gibt, dass
\mathl{g^{m_{ij} } (t_i -t_j)}{} gleich $0$ in
\mathl{\Gamma { \left( U_i \cap U_j, { \mathcal L }^{\ell +m_{ij} } \otimes { \mathcal M } \right) }}{} ist. Wir multiplizieren die Situation mit $g^m$, wobei $m$ das Maximum aller $m_{ij}$ ist, und erhalten dann die Verträglichkeit und somit mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ \ell +m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Existenz einer globalen Fortsetzung von
\mathl{g^{n}s}{.}
}