Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Vorlesung 14

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Quasikohärente Moduln auf affinen Schemata

Zu einem komutativen Ring sind die -Moduln wichtig und charakteristisch für den Ring, etwa Ideale, Restklassenringe, projektive Moduln, der Modul der Kählerdifferentiale u.s.w. Diese Moduln wollen wir im Kontext des Spektrums, also in einer geometrisierten Form, wiederfinden. Der Aufbau erfolgt parallel dazu, wie die Strukturgarbe auf dem Spektrum eingeführt wird.


Beispiel  

Es sei ein -Modul über dem kommutativen Ring . Dann kann man eine Prägarbe von Moduln definieren, indem man zu einer offenen Menge die Festlegung

trifft. Dies sind Moduln über dem Ring und es liegen natürliche Restriktionshomomorphismen vor, die mit den Modulstrukturen verträglich sind. Der Halm dieser Prägarbe in einem Primideal ist



Definition  

Es sei das affine Schema eines kommutativen Ringes und sei ein -Modul. Unter dem zu gehörenden -Modul auf versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge die kommutative Gruppe

zusammen mit der Skalarmultiplikation

zuordnet, und wobei jeder Inklusion die natürliche Projektion zugeordnet wird.

Wenn man mit dem Ring selbst startet, so erhält man die Strukturgarbe.



Lemma  

Zu einem -Modul über einem kommutativen Ring ist

ein -Modul auf dem affinen Schema .

Beweis  

Dies beruht darauf, dass als Vergarbung zur Prägarbe definiert wird und die Modulstruktur sich auf die Vergarbung vererbt.




Lemma  

Es sei das affine Schema zu einem kommutativen Ring und es sei ein Punkt, der dem Primideal entspreche. Es sei ein -Modul mit der zugehörigen Modulgarbe .

Dann ist der Halm dieser Garbe gleich

Beweis  

Dies ergibt sich aus Beispiel 14.1 und Lemma 5.2  (2).




Lemma  

Es sei das affine Schema zu einem kommutativen Ring und sei ein -Modul mit der zugehörigen Modulgarbe -Modul . Es sei .

Dann ist

Insbesondere ist der globale Schnittmodul gleich .

Beweis  

Wir beweisen den angeführten Spezialfall. Es gibt einen natürlichen -Modulhomomorphismus . Dieser ist injektiv, da man das Nullsein eines Elementes lokal testen kann, vergleiche Lemma Anhang 1.1. Zum Nachweis der Surjektivität sei ein globales Element. Dies bedeutet, dass es eine offene Überdeckung

und Elemente

mit gibt, die als Schnitte über

also als Elemente in übereinstimmen. Nach Korollar 7.6 können wir annehmen, dass endlich ist. Ferner können wir die durch ihr Maximum ersetzen (was natürlich die lokalen Zähler auch ändert). Die Verträglichkeit bedeutet die Existenz von Gleichungen

in , wobei wir als ein Maximum gewählt haben. Nach Proposition 8.4  ((2), (4)) erzeugen die , , das Einheitsideal. Dies gilt dann auch für die , , d.h. es gibt mit

Wir setzen

Es ist dann

Dies bedeutet wiederum in , d.h. der Schnitt wird von einem Modulelement repräsentiert.

Wir betrachten nun die Situation auf . Diese entspricht aber der behandelten Situation, wenn man als neuen Modul ansetzt.


Beispiel  

Im quadratischen Zahlbereich gilt die Gleichheit

Wir betrachten das Ideal (das ein Primideal ist und kein Hauptideal) und die zugehörige Idealgarbe auf . Das Spektrum wird durch die beiden offenen Mengen und überdeckt. Es ist , da zum Ideal gehört und daher das Ideal in der Nenneraufnahme zum Einheitsideal wird. In der Nenneraufnahme (also auf ) ist hingegen

und somit ist ein Hauptideal mit dem Erzeuger . Daher ist und ist eine invertierbare Garbe.



Beispiel  

Wir betrachten in der -Singularität das Ideal . Es definiert auf dem Spektrum eine Idealgarbe und damit auch die eingeschränkte Idealgarbe auf dem quasiaffinen Schema

Diese eingeschränkte Idealgarbe ist auf invertierbar, da wegen und wegen (in ) Isomorphien und vorliegen. Dagegen ist auf dem gesamten Spektrum nicht invertierbar, da das Ideal in der Lokalisierung kein Hauptideal ist.




Lemma  

Es sei das affine Schema zu einem kommutativen Ring und es sei ein -Modulhomomorphismus zwischen -Moduln.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten -Modulhomomorphismus

der global mit übereinstimmt.

Beweis  

Zu jedem muss wegen der Verträglichkeit mit den Restriktionen das kommutative Diagramm

vorliegen, wodurch die untere Abbildung eindeutig festgelegt ist. Durch diese Festlegung wird sodann ein eindeutiger Prägarbenhomomorphismus und über die Vergarbung ein eindeutiger Garbenhomomorphismus festgelegt.




Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und es sei

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln.

Dann liegt auf dem affinen Schema zu die kurze exakte Garbensequenz

von quasikohärenten -Moduln vor.

Beweis  

Die kurze exakte Sequenz

führt zu jedem Primideal nach Lemma Anhang 2.2 zu einer kurzen exakten Sequenz

Wegen Lemma 14.4 ist dies die Halmversion der Modulhomomorphismen zwischen , und im Punkt . Nach Lemma 6.3 bedeutet dies die Exaktheit des Garbenkomplexes.




Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring, es seien und Moduln über und es seien und die zugehörigen Modulgarben auf .

Dann gibt es einen kanonischen Isomorphismus

Beweis  

Es ist . Wir betrachten die Prägarbe

Die Vergarbung der rechten Seite ergibt nach Definition die quasikohärente Garbe . Zu offenen Mengen gibt es kanonische Modulhomomorphismen

was zu einem Modulhomomorphismus

für jede offene Menge führt. Diese sind mit den Restriktionen verträglich, so dass ein Prägarbenhomomorphismus vorliegt. Dieser überträgt sich nach Lemma 5.2  (1,5) auf die zugehörigen Garben. Nach der Vorbemerkung ist die Vergarbung links gleich und die Vergarbung rechts ist nach Definition gleich . Da der Homomorphismus in den Halmen ein Isomorphismus ist, liegt nach Lemma 4.6 überhaupt ein Isomorphismus vor.




Quasikohärente Moduln

Für beliebige Schemata sind diejenigen Modulgarben besonders wichtig, die auf affinen Stücken wie aussehen.


Definition  

Ein -Modul auf einem Schema heißt quasikohärent, wenn es eine offene affine Überdeckung mit und -Moduln derart gibt, dass ist.

Insbesondere ist die Strukturgarbe auf einem Schema eine quasikohärente Garbe, da sie auf den affinen offenen Mengen mit übereinstimmt. Invertierbare Garben sind ebenfalls quasikohärent.

Man kann zeigen, dass bei einer quasikohärenten Garbe bereits für jede offene affine Teilmenge die eingeschränkte Garbe gleich der Modulgarbe zu einem Modul über dem Ring ist.


Definition  

Ein quasikohärenter -Modul auf einem Schema heißt kohärent, wenn es eine offene affine Überdeckung derart gibt, dass ein endlich erzeugter -Modul ist.

Bei einem affinen Schema entsprechen sich die quasikohärenten Moduln und die -Moduln. Insbesondere haben auf einem affinen Schema die quasikohärenten Moduln „viele“ globale Schnitte, mit deren Hilfe man verstehen und rekonstruieren kann. Dies gilt keineswegs für quasikohärente Garben auf nichtaffinen Schemata, insbesondere gilt es oft nicht für projektive Schemata. Dort kommt es sogar oft vor, dass für komplizierte quasikohärente Moduln die globale Auswertung der Nullmodul ist. In einem solchen Fall kann man aber mit Hilfe von geeigneten invertierbaren Garben den Modul so „hindrehen“ (twisten), dass die getwistete Version globale Schnitte besitzt. Wegweisend ist der folgende allgemeine Satz. Man beachte, dass Elemente mit invertierbar und über die Vergarbung Elemente definieren, wobei die -te Tensorpotenz von bezeichnet.



Satz  

Es sei ein quasikohärenter -Modul auf einem noetherschen Schema . Es sei eine invertierbare Garbe auf , ein globaler Schnitt mit dem Invertierbarkeitsort . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Zu einem globalen Schnitt mit gibt es ein mit in .
  2. Zu einem Schnitt gibt es ein derart, dass

    von einem globalen Schnitt aus herrührt.

Beweis  

Es sei eine endliche offene affine Überdeckung derart, dass die Einschränkungen von auf die trivial sind. Wir betrachten die Situation

hier ist also eine offene Teilmenge des affinen Schemas . Es ist

mit einem -Modul . Unter dem Isomorphismus entspricht die Einschränkung von auf einer Funktion und für den Invertierbarkeitsort gilt . Somit ist

  1. Sei . Die Einschränkung davon auf ist nach Voraussetzung gleich und daher gibt es ein mit

    in , und dies gilt auch für alle größeren Exponenten. Übersetzt nach bedeutet dies, dass das globale Element eingeschränkt auf gleich ist. Somit erhalten wir mit ein derart, dass auf sämtlichen gleich wird. Aufgrund der Garbeneigenschaft ist dann gleich auf .

  2. Der vorgegebene Schnitt liefert durch Einschränkung Schnitte

    Es ist also mit . Dabei kann man die erhöhen, so dass wir annehmen können, dass eine solche Darstellung für jedes mit einem gemeinsamen vorliegt. Dies bedeutet, dass die Einschränkungen von auf jeweils von einem Element

    herrühren. Die sind im Allgemeinen nicht verträglich. Es ist aber die Einschränkung von auf gleich . Nach dem ersten Teil, angewendet auf , ergibt sich, dass es ein derart gibt, dass gleich in ist. Wir multiplizieren die Situation mit , wobei das Maximum aller ist, und erhalten dann die Verträglichkeit und somit mit die Existenz einer globalen Fortsetzung von .



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