- Quasikohärente Moduln auf affinen Schemata
Zu einem kommutativen Ring
sind die
-
Moduln
wichtig und charakteristisch für den Ring, etwa Ideale, Restklassenringe, projektive Moduln, der Modul der Kählerdifferentiale u.s.w. Diese Moduln wollen wir im Kontext des Spektrums, also in einer geometrisierten Form, wiederfinden. Der Aufbau erfolgt parallel dazu, wie die Strukturgarbe auf dem Spektrum eingeführt wird.
Es sei
das
affine Schema
eines
kommutativen Ringes
und sei
ein
-
Modul.
Unter dem zu
gehörenden
-Modul
auf
versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge
die kommutative Gruppe
-
![{\displaystyle \Gamma {\left(U,{\widetilde {M}}\right)}={\left\{{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}M_{\mathfrak {p}}\mid {\text{ für alle }}{\mathfrak {p}}\in U{\text{ gibt es }}m\in M{\text{ und }}f\in R{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}\in D(f)\subseteq U{\text{ und }}s_{\mathfrak {q}}={\frac {m}{f}}{\text{ in }}M_{\mathfrak {q}}{\text{ für alle }}{\mathfrak {q}}\in D(f)\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86cb4b6d60a00b03ca4eed19b496e82982730d87)
zusammen mit der Skalarmultiplikation
-
zuordnet, und wobei jeder Inklusion
die natürliche Projektion zugeordnet wird.
Wenn man mit dem Ring
selbst startet, so erhält man die Strukturgarbe.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Wir beweisen den angeführten Spezialfall. Es gibt einen natürlichen
-
Modulhomomorphismus
.
Dieser ist injektiv, da man das Nullsein eines Elementes lokal testen kann, vergleiche
Lemma Anhang 1.1.
Zum Nachweis der Surjektivität sei
ein globales Element. Dies bedeutet, dass es eine
offene Überdeckung
-
![{\displaystyle {}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}=\bigcup _{i\in I}D(f_{i})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2687dec6ec5795ec26d9632918b4183ca4566e9)
und Elemente
-
![{\displaystyle {}s_{i}={\frac {a_{i}}{f_{i}^{k_{i}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e331e6ecd548204c748cce96733b9d9d48942f8)
mit
gibt, die als Schnitte über
-
![{\displaystyle {}D(f_{i})\cap D(f_{j})=D(f_{i}f_{j})\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efacbd0257780540f5256cfd87544a3b8b9f7599)
also als Elemente in
übereinstimmen. Nach
Korollar 8.6
können wir annehmen, dass
endlich ist. Ferner können wir die
durch ihr Maximum
ersetzen
(was natürlich die lokalen Zähler
auch ändert).
Die Verträglichkeit
bedeutet die Existenz von Gleichungen
-
![{\displaystyle {}(f_{i}f_{j})^{m}a_{i}f_{j}^{k}=(f_{i}f_{j})^{m}a_{j}f_{i}^{k}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ec5427f88aaa5fdc04823b4e8d0910ddb49e69b)
in
, wobei wir
als ein Maximum gewählt haben. Nach
Proposition 8.4 ((2), (4))
erzeugen die
,
,
das
Einheitsideal.
Dies gilt dann auch für die
,
,
d.h. es gibt
mit
-
![{\displaystyle {}1=\sum _{i\in I}g_{i}f_{i}^{m+k}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd4298a417db84bb609061b9066f94ffcc8151a1)
Wir setzen
-
![{\displaystyle {}a:=\sum _{i\in I}g_{i}a_{i}f_{i}^{m}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c947d69a74b49495e8af884e1a7b4ccd7f46177a)
Es ist dann
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}af_{j}^{m+k}&={\left(\sum _{i\in I}g_{i}a_{i}f_{i}^{m}\right)}f_{j}^{m+k}\\&=\sum _{i\in I}g_{i}(f_{i}f_{j})^{m}a_{i}f_{j}^{k}\\&=\sum _{i\in I}g_{i}(f_{i}f_{j})^{m}a_{j}f_{i}^{k}\\&=a_{j}f_{j}^{m}{\left(\sum _{i\in I}g_{i}f_{i}^{m+k}\right)}\\&=a_{j}f_{j}^{m}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/746f2b035d44f9b238abab2c9123231c0e519b03)
Dies bedeutet wiederum
in
, d.h. der Schnitt wird von einem Modulelement repräsentiert.
Wir betrachten nun die Situation auf
. Diese entspricht aber der behandelten Situation, wenn man
als neuen Modul ansetzt.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Zu jedem
muss wegen der Verträglichkeit mit den Restriktionen das kommutative Diagramm
-
vorliegen, wodurch die untere Abbildung eindeutig festgelegt ist. Durch diese Festlegung wird sodann ein eindeutiger Prägarbenhomomorphismus und über die Vergarbung ein eindeutiger Garbenhomomorphismus festgelegt.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Es sei
ein
kommutativer Ring
und es sei
-
eine
kurze exakte Sequenz
von
-
Moduln.
Dann liegt auf dem
affinen Schema
zu
die kurze exakte Garbensequenz
-
von
quasikohärenten
-
Moduln
vor.
Die kurze exakte Sequenz
-
führt zu jedem Primideal
nach
Lemma Anhang 2.2
zu einer kurzen exakten Sequenz
-
Wegen
Lemma 14.4
ist dies die Halmversion der Modulhomomorphismen zwischen
,
und
im Punkt
. Nach
Lemma 6.3
bedeutet dies die Exaktheit des Garbenkomplexes.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Es ist
.
Wir betrachten die Prägarbe
-
Die Vergarbung der rechten Seite ergibt nach Definition die quasikohärente Garbe
. Zu offenen Mengen
gibt es kanonische
Modulhomomorphismen
-
was zu einem Modulhomomorphismus
-
für jede offene Menge führt. Diese sind mit den Restriktionen verträglich, so dass ein Prägarbenhomomorphismus vorliegt. Dieser überträgt sich nach
Lemma 5.2 (1,5)
auf die zugehörigen Garben. Nach der Vorbemerkung ist die Vergarbung links gleich
und die Vergarbung der rechten Seite ist nach Definition gleich
. Da der Homomorphismus in den Halmen ein Isomorphismus ist, liegt nach
Lemma 4.6
überhaupt ein Isomorphismus vor.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
- Quasikohärente Moduln
Für beliebige Schemata sind diejenigen Modulgarben besonders wichtig, die auf affinen Stücken wie
aussehen.
Insbesondere ist die Strukturgarbe auf einem Schema eine quasikohärente Garbe, da sie auf den affinen offenen Mengen
mit
übereinstimmt. Invertierbare Garben sind ebenfalls quasikohärent.
Man kann zeigen, dass bei einer quasikohärenten Garbe bereits für jede offene affine Teilmenge
die eingeschränkte Garbe gleich der Modulgarbe zu einem Modul über dem Ring
ist.
Bei einem affinen Schema
entsprechen sich die quasikohärenten Moduln und die
-Moduln. Insbesondere haben auf einem affinen Schema die quasikohärenten Moduln
„viele“ globale Schnitte, mit deren Hilfe man
verstehen und rekonstruieren kann. Dies gilt keineswegs für quasikohärente Garben auf nichtaffinen Schemata, insbesondere gilt es oft nicht für projektive Schemata. Dort kommt es sogar oft vor, dass für komplizierte quasikohärente Moduln die globale Auswertung der Nullmodul ist. In einem solchen Fall kann man aber mit Hilfe von geeigneten invertierbaren Garben den Modul so „hindrehen“
(twisten),
dass die getwistete Version globale Schnitte besitzt. Wegweisend ist der folgende allgemeine Satz. Man beachte, dass Elemente
mit
invertierbar und
über die Vergarbung Elemente
definieren, wobei
die
-te Tensorpotenz von
bezeichnet.
Es sei
ein
quasikohärenter
-
Modul
auf einem
noetherschen Schema
. Es sei
eine
invertierbare Garbe
auf
,
ein globaler Schnitt mit dem
Invertierbarkeitsort
. Dann gelten folgende Aussagen.
- Zu einem globalen Schnitt
mit
gibt es ein
mit
in
.
- Zu einem Schnitt
gibt es ein
derart, dass
-
![{\displaystyle {}g^{n}s\in \Gamma {\left(X_{g},{\mathcal {L}}^{n}\otimes {\mathcal {M}}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/548751d9c52123f9eb32a398ab0308d95a37df10)
von einem globalen Schnitt aus
herrührt.
Es sei
eine endliche offene affine Überdeckung derart, dass die Einschränkungen von
auf die
trivial sind. Wir betrachten die Situation
-
![{\displaystyle {}V_{i}=X_{g}\cap U_{i}\subseteq U_{i}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e99af56f3ed3cb96c85f55ee7cbbf5558de72cb5)
hier ist also
eine offene Teilmenge des affinen Schemas
.
Es ist
-
![{\displaystyle {}{\mathcal {M}}{|}_{U_{i}}={\widetilde {M}}_{i}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14b9163df2b89593a62918a47e0c4ac7fcac069a)
mit einem
-
Modul
. Unter dem Isomorphismus
entspricht die Einschränkung von
auf
einer Funktion
und für den Invertierbarkeitsort gilt
.
Somit ist
-
![{\displaystyle {}\Gamma {\left(V_{i},{\mathcal {M}}\right)}\cong (M_{i})_{f_{i}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627e8077988f31327c0f4a023abf173e1b46d9e7)
- Sei
.
Die Einschränkung davon auf
ist nach Voraussetzung gleich
und daher gibt es ein
mit
-
![{\displaystyle {}f_{i}^{m_{i}}r_{i}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/decc2544509ccecd46dbc8e5551bd46f413e06b5)
in
, und dies gilt auch für alle größeren Exponenten. Übersetzt nach
bedeutet dies, dass das globale Element
eingeschränkt auf
gleich
ist. Somit erhalten wir mit
ein
derart, dass
auf sämtlichen
gleich
wird. Aufgrund der Garbeneigenschaft ist dann
gleich
auf
.
- Der vorgegebene Schnitt
liefert durch Einschränkung Schnitte
-
![{\displaystyle {}s_{i}\in \Gamma {\left(V_{i},{\mathcal {M}}\right)}=\Gamma {\left(D(f_{i}),M_{i}\right)}={\left(M_{i}\right)}_{f_{i}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0494f5e3c5bde85c793a21a9546c2310229c4bb)
Es ist also
mit
.
Dabei kann man die
erhöhen, so dass wir annehmen können, dass eine solche Darstellung für jedes
mit einem gemeinsamen
vorliegt. Dies bedeutet, dass die Einschränkungen von
auf
jeweils von einem Element
-
![{\displaystyle {}t_{i}\in \Gamma {\left(U_{i},{\mathcal {L}}^{\ell }\otimes {\mathcal {M}}\right)}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e4f375d9dadbda860047ed0afd352f357e5ce8)
herrühren. Die
sind im Allgemeinen nicht verträglich. Es ist aber die Einschränkung von
auf
gleich
. Nach dem ersten Teil, angewendet auf
,
ergibt sich, dass es ein
derart gibt, dass
gleich
in
ist. Wir multiplizieren die Situation mit
, wobei
das Maximum aller
ist, und erhalten dann die Verträglichkeit und somit mit
die Existenz einer globalen Fortsetzung von
.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)