Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 19/latex

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\setcounter{section}{19}






\zwischenueberschrift{Algebraisch abgeschlossene Körper}

Wir haben zuletzt erwähnt, dass ein lineares Polynom
\mathl{X-a}{} über einem Körper stets irreduzibel ist, und dass es als Faktor in der Primfaktorzerlegung eines Polynoms $F$ genau dann vorkommt, wenn $a$ eine Nullstelle von $F$ ist. Diejenigen Körper, für die es im Polynomring außer den linearen Polynomen keine weiteren irreduziblen Polynome gibt, bekommen einen eigenen Namen.




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ heißt \definitionswort {algebraisch abgeschlossen}{,} wenn jedes nichtkonstante \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathl{F \in K[X]}{} eine Nullstelle in $K$ besitzt.

}


\inputfaktbeweis
{Algebraisch abgeschlossener Körper/Charakterisierung mit Linearfaktoren/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {$K$ ist \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{.} } {Jedes nicht-konstante Polynom
\mathl{F\in K[X]}{} zerfällt in Linearfaktoren. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 19.6. }


Wir erwähnen hier ohne Beweis den \stichwort {Fundamentalsatz der Algebra} {,} der 1799 von Gauß bewiesen wurde.


\inputfakt{Fundamentalsatz der Algebra/Algebraisch abgeschlossen/Fakt}{Satz}{} {

Der \definitionsverweis {Körper}{}{} $\mathbb C$ der \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} ist \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossen}{}{.}

}






\zwischenueberschrift{Endliche Untergruppen der Einheitengruppe eines Körpers}

Wir wollen zeigen, dass die Einheitengruppe von
\mathbed {\Z/(p)} {}
{p \text{ Primzahl}} {}
{} {} {} {,} zyklisch ist. Dafür brauchen wir neben den Aussagen der letzten Vorlesung über die Nullstellen von Polynomen noch einige gruppentheoretische Vorbereitungen.





\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie/Elementordnung vom Produkt/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Sei $G$ eine \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und
\mathl{x, y \in G}{} Elemente der \definitionsverweis {endlichen Ordnungen}{}{} \mathkor {} {n = \operatorname{ord} \, (x)} {und} {m = \operatorname{ord} \, (y)} {,} wobei \mathkor {} {n} {und} {m} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{} seien.}
\faktfolgerung {Dann hat $xy$ die Ordnung $nm$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (xy)^k }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir haben zu zeigen, dass $k$ ein Vielfaches von $nm$ ist. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 }
{ =} { { \left( x^ky^k \right) }^n }
{ =} { x^{kn}y^{kn} }
{ =} { y^{kn} }
{ } { }
} {}{}{,} da ja $n$ die Ordnung von $x$ ist. Aus dieser Gleichung erhält man, dass $kn$ ein Vielfaches der Ordnung von $y$, also von $m$ sein muss. Da \mathkor {} {n} {und} {m} {} teilerfremd sind, folgt aus Satz 17.14, dass $k$ ein Vielfaches von $m$ ist. Ebenso ergibt sich, dass $k$ ein Vielfaches von $n$ ist, so dass $k$, wieder aufgrund der Teilerfremdheit, ein Vielfaches von $nm$ sein muss.

}





\inputdefinition
{}
{

Der \definitionswort {Exponent}{}
\mathl{\exp { \left( G \right) }}{} einer endlichen Gruppe $G$ ist die kleinste positive Zahl $n$ mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^n }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mathl{x \in G}{} ist.

}





\inputfaktbeweis
{Gruppentheorie/Zyklische Gruppe/Exponentenkriterium/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Sei $G$ eine endliche \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{exp} (G) }
{ = }{\operatorname {ord} { { \left( G \right) } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei
\mathl{\operatorname{exp}(G)}{} den \definitionsverweis {Exponenten}{}{} der Gruppe bezeichnet.}
\faktfolgerung {Dann ist $G$ \definitionsverweis {zyklisch}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n }
{ =} { \operatorname{ord} \, (G) }
{ =} {p_1^{r_1} \cdots p_k^{r_k} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Primfaktorzerlegung der Gruppenordnung. Der \definitionsverweis {Exponent}{}{} der Gruppe ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{exp}(G) }
{ =} { \operatorname{kgV}( \operatorname{ord}(x):\, x \in G) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Sei $p_i$ ein Primteiler von $n$. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{exp}(G) }
{ =} { \operatorname{ord} \, (G) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt es ein Element
\mathl{x \in G}{,} dessen Ordnung ein Vielfaches von
\mathl{p_i^{r_i}}{} ist. Dann gibt es auch \zusatzklammer {in der von $x$ erzeugten zyklischen Untergruppe} {} {} ein Element $x_i$ der Ordnung
\mathl{p_i^{r_i}}{.} Dann hat das Produkt
\mathl{x_1 \cdots x_k \in G}{} nach Lemma 19.4 die Ordnung $n$.

}






\inputfaktbeweis
{Körper (Algebra)/Untergruppen der Einheiten/Zyklisch/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ K^{\times} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine endliche \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der multiplikativen Gruppe eines \definitionsverweis {Körpers}{}{} $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist $U$ \definitionsverweis {zyklisch}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{ \operatorname {ord} { { \left( U \right) } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e }
{ = }{ \exp { \left( U \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Exponent}{}{} dieser Gruppe. Dies bedeutet, dass alle Elemente
\mathl{x \in U}{} eine Nullstelle des Polynoms
\mathl{X^{e} -1}{} sind. Nach Korollar 18.10 ist die Anzahl der Nullstellen aber maximal gleich dem Grad, so dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ = }{e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt. Nach Fakt ***** ist dann $U$ zyklisch.

}







\inputfaktbeweis
{Restklassenringe (Z)/Einheitengruppe/Primzahl/Zyklisch/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
\mathl{{ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}}{} \definitionsverweis {zyklisch}{}{} mit der \definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\mathl{p-1}{.}}
\faktzusatz {Es gibt also Elemente $g$ mit der Eigenschaft, dass die Potenzen
\mathbed {g^{i}} {}
{i=0,1 , \ldots , p-2} {}
{} {} {} {,} alle Einheiten durchlaufen.}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt unmittelbar aus Satz 19.7, da
\mathl{\Z/(p)}{} ein endlicher Körper ist.

}






\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {Einheit}{}{}
\mathl{u \in { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} heißt \definitionswort {primitiv}{} \zusatzklammer {oder eine \definitionswort {primitive Einheit}{}} {} {,} wenn sie die \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} erzeugt.

}




\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} des \definitionsverweis {Restklassenkörpers}{}{}
\mathl{\Z/(23)}{.} Nach Satz 19.8 ist sie \definitionsverweis {zyklisch}{}{} und es gibt daher Erzeuger der Einheitengruppe, also \definitionsverweis {primitive Elemente}{}{.} Wie kann man diese finden? Man ist hierbei prinzipiell auf Probieren angewiesen, man kann dies allerdings deutlich vereinfachen. Man weiß, dass die Einheitengruppe $22$ Elemente besitzt, als \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von Elementen dieser Gruppe kommen also nur $1,2,11$ und $22$ in Frage. Es gibt genau ein Element mit der Ordnung $1$, nämlich $1$, und ein Element mit der Ordnung $2$, nämlich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-1 }
{ = }{22 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Alle anderen Elemente haben also die Ordnung \mathkor {} {11} {oder} {22} {,} und genau die letzteren sind primitiv. Der erste Kandidat ist $2$. Wir müssen also
\mathdisp {2^{11} \mod 23} { }
ausrechnen. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2^5 }
{ = }{ 32 }
{ = }{ 9 }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^{11} }
{ =} { 9 \cdot 9 \cdot 2 }
{ =} { 12 \cdot 2 }
{ =} { 24 }
{ =} { 1 }
} {}{}{.} Die Ordnung ist also $11$, und die $2$ ist nicht primitiv. Betrachten wir die $3$. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{3^3 }
{ = }{27 }
{ = }{4 }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3^{11} }
{ =} {4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 9 }
{ =} {18 \cdot 9 }
{ =} {162 }
{ =} {1 }
} {}{}{,} also wieder nicht primitiv. Der nächste Kandidat $4$ muss nicht gecheckt werden, denn wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{4 }
{ = }{2^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist sofort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{4^{11} }
{ = }{2^{22} }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {diese Beobachtung gilt für alle Quadratzahlen, und zwar auch für diejenigen Zahlen, die nur modulo $23$ ein Quadrat sind} {} {.} Betrachten wir also $5$. Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{5^2 }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5^{11} }
{ =} {2^{5} \cdot 5 }
{ =} {9 \cdot5 }
{ =} {45 }
{ =} {-1 }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ \neq} {1 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.} Daher hat $5$ die Ordnung $22$ und ist ein primitives Element.

Man kann diesen Sachverhalt auch so ausdrücken, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {\Z/(22)} {{ \left( \Z/(23) \right) }^{\times} } {k} {5^k } {,} einen \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} definiert. Dieser übersetzt die Addition in die Multiplikation, daher spricht man von einer \stichwort {diskreten Exponentialfunktion} {} und nennt die Umkehrabbildung auch einen \stichwort {diskreten Logarithmus} {.} Solche Abbildungen spielen eine wichtige Rolle in der \stichwort {Kryptologie} {.} Wenn man wie in diesem Beispiel einen solchen Isomorphismus gefunden hat, so kann man viele Eigenschaften der Einheitengruppe in der \anfuehrung{einfacheren}{} Gruppe entscheiden. Z.B. sind in
\mathl{\Z/(22)}{} alle ungeraden Elemente außer $11$ ein Gruppenerzeuger, daher sind in der Einheitengruppe alle Elemente der Form
\mathbeddisp {5^u} {}
{u \text{ ungerade}} {}
{u \neq 11} {} {} {,} primitiv.


}






\zwischenueberschrift{Endliche Körper}




\inputdefinition
{}
{

Ein \definitionsverweis {Körper}{}{} heißt \definitionswort {endlich}{,} wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.

}

Wir erinnern kurz an die \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} eines Ringes. Zu jedem kommutativen Ring gibt es den kanonischen Ringhomomorphismus
\mathl{\varphi: \Z \rightarrow R}{,} und der Kern davon ist ein Ideal ${\mathfrak a}$ in $\Z$ und hat daher die Form
\mathl{{\mathfrak a}=(n)}{} mit einem eindeutig bestimmten
\mathl{n \geq 0}{.} Diese Zahl nennt man die Charakteristik von $R$. Ist $R$ ein Körper, so ist dieser Kern \mathkor {} {{\mathfrak a}=0} {oder} {{\mathfrak a}=(p)} {} mit einer Primzahl $p$. Man spricht von Charakteristik null oder von positiver Charakteristik
\mathl{p >0}{.}

Wir haben bereits die endlichen Primkörper
\mathl{\Z/(p)}{} zu einer Primzahl $p$ kennengelernt. Sie besitzen $p$ Elemente, und ein Körper besitzt genau dann die Charakteristik $p$, wenn er diesen Primkörper enthält. Genau dann hat man auch eine Faktorisierung
\mathdisp {\Z \longrightarrow \Z/(p) \longrightarrow K} { , }
wobei die hintere Abbildung injektiv ist, d.h. es liegt eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mathdisp {\Z/(p) \subseteq K} { }
vor. Für eine Körpererweiterung gilt stets folgende Beobachtung.





\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Ist Vektorraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $L$ in natürlicher Weise ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Skalarmultiplikation \maabbeledisp {} {K \times L} {L } {(\lambda, x)} { \lambda x } {,} wird einfach durch die Multiplikation in $L$ gegeben. Die \definitionsverweis {Vektorraumaxiome}{}{} folgen dann direkt aus den \definitionsverweis {Körperaxiomen}{}{.}

}


Über die Anzahl der Elemente in einem Körper gilt folgende wichtige Bedingung.





\inputfaktbeweis
{Endliche Körper/Anzahl ist Primzahlpotenz/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besitzt $K$ genau $p^n$ Elemente, wobei $p$ eine Primzahl ist und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Der endliche Körper kann nicht die \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach Lemma 13.9 nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit $p$ bezeichnet. Das bedeutet, dass $K$ den Körper
\mathl{\Z/(p)}{} enthält. Damit ist aber $K$ ein Vektorraum über
\mathl{\Z/(p)}{,} und zwar, da $K$ endlich ist, von endlicher Dimension. Sei $n$ die Dimension,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann hat man eine
\mathl{\Z/(p)}{-}Vektorraumisomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K }
{ \cong} {(\Z/(p))^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit besitzt $K$ gerade $p^n$ Elemente.

}


Die vorstehende Aussage gilt allgemeiner für endliche Ringe, die einen Körper enthalten. Es sei schon jetzt erwähnt, dass es zu jeder Potenz $p^{n}$ bis auf Isomorphie genau einen Körper mit $p^{n}$ Elementen gibt. Dies werden wir in zwei Wochen beweisen. Für einige Beispiele siehe auch die Aufgaben.




\inputbeispiel{}
{

Wir konstruieren einen Körper mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 23^2 }
{ = }{ 529 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elementen und knüpfen dabei an Beispiel ***** an. Da die
\mathl{5 \in \Z/(23)}{} \definitionsverweis {primitiv}{}{} ist, folgt, dass das Polynom
\mathl{X^2-5 \in \Z/(23)[X]}{} irreduzibel ist. Andernfalls müsste es eine Nullstelle haben und dann wäre
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{5 }
{ = }{a^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Quadrat mit
\mathl{a \in \Z/(23)}{.} Doch dann wäre
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{5^{11} }
{ = }{a^{22} }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} was nicht der Fall ist.

Es folgt nach Satz 18.5, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K }
{ =} {\Z/(23)[X]/(X^2-5) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Körper ist. Dieser hat $23^2$ Elemente, da man jede Restklasse auf genau eine Weise als
\mathbed {ax+b} {mit}
{a,b \in \Z/(23)} {}
{} {} {} {} schreiben kann \zusatzklammer {$x$ bezeichne die Restklasse von $X$} {} {.} Dieser Körper enthält
\mathl{\Z/(23)}{,} und die Ordnungen dieser Elemente ändern sich nicht \zusatzklammer {und sie sind insbesondere nicht primitiv im größeren Körper} {} {.}

Wir möchten eine primitive Einheit in diesem Körper finden und orientieren uns an Lemma 19.4. Die Ordnung von $K^{\times}$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{528 }
{ = }{16 \cdot 3 \cdot 11 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir müssen für jede dieser Primzahlpotenzen ein Element mit dieser Ordnung finden. Die $2$ hat die Ordnung $11$. Das Element
\mathl{11-x}{} hat die Ordnung $3$, es ist nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (11-x)^3 }
{ =} { 121\cdot 11 - 3 \cdot 121 x +33 x^2 -x^3 }
{ =} { 66 - 3 \cdot 6 x +50-5x }
{ =} { 116-23 x }
{ =} { 1 }
} {}{}{.} Um ein Element der Ordnung $16$ zu finden, ziehen wir sukzessive Quadratwurzeln aus $-1$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(3x)^2 }
{ =} {9x^2 }
{ =} {45 }
{ =} {-1 }
{ } {}
} {}{}{.} Eine Quadratwurzel aus $3x$ ist
\mathl{14+19x}{,} wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(14+19x)^2 }
{ =} { 196 +361 \cdot 5 + 2 \cdot 14 \cdot 19 x }
{ =} { 12+ 16 \cdot 5 + 5 \cdot 19 x }
{ =} { 3x }
{ } {}
} {}{}{.} Um eine Quadratwurzel für
\mathl{14+19x}{} zu finden, setzen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a+b x)^2 }
{ = }{14+19x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} an, was zum Gleichungssystem \mathkor {} {a^2+5b^2=14} {und} {2ab=19} {} über
\mathl{\Z/(23)}{} führt. Es ist dann
\mathl{a=21 \cdot b^{-1}}{,} was zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 4 b^{-2} +5b^2 }
{ = }{ 14 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} bzw. zur \stichwort {biquadratischen Gleichung} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 5b^4 +9 b^2 +4 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} führt. Normieren ergibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b^4 + 11 b^2 +10 }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \stichwort {Quadratisches Ergänzen} {} führt zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (b^2+17)^2 }
{ =} {17^2-10 }
{ =} {49 }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b^2 }
{ = }{13 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit \mathkor {} {b=6} {und} {a=15} {,} also ist
\mathl{15+6x}{} ein Element der Ordnung $16$. Damit ist insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2 (11-x) (15+6x) }
{ =} {2 (165-30 +51x ) }
{ =} {2 (20 +5x ) }
{ =} { 17+10x }
{ } {}
} {}{}{} eine \definitionsverweis {primitive Einheit}{}{} nach Lemma 19.4.


}





\inputfaktbeweis
{Endliche Körper/Produkt aller Einheiten/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist das Produkt aller von $0$ verschiedener Elemente aus $K$ gleich $-1$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2 }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} hat in einem Körper nur die Lösungen $1$ und $-1$, die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \neq }{1, -1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} immer
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \neq }{x^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als
\mathdisp {1 (-1) x_1 x_1^{-1} \cdots x_k x_k^{-1}} { }
schreiben. Ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-1 }
{ \neq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so ist das Produkt $-1$. Ist hingegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-1 }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ = }{-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}






\inputfaktbeweis
{Restklassenkörper von Z/Wilson/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Sei $p$ eine Primzahl.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (p-1)! }
{ = }{-1 \!\!\! \mod p }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt unmittelbar aus Satz 19.15, da ja die Fakultät durch alle Zahlen zwischen \mathkor {} {1} {und} {p-1} {} läuft, also durch alle \definitionsverweis {Einheiten}{}{} im \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
\mathl{\Z/(p)}{.}

}



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