Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 19

Algebraisch abgeschlossene Körper

Wir haben zuletzt erwähnt, dass ein lineares Polynom ${}X-a$ über einem Körper stets irreduzibel ist, und dass es als Faktor in der Primfaktorzerlegung eines Polynoms ${}F$ genau dann vorkommt, wenn ${}a$ eine Nullstelle von ${}F$ ist. Diejenigen Körper, für die es im Polynomring außer den linearen Polynomen keine weiteren irreduziblen Polynome gibt, bekommen einen eigenen Namen.

Definition

Ein Körper ${}K$ heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes nichtkonstante Polynom ${}F\in K[X]$ eine Nullstelle in ${}K$ besitzt.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper. Dann sind die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent.

1. ${}K$ ist algebraisch abgeschlossen.
2. Jedes nicht-konstante Polynom ${}F\in K[X]$ zerfällt in Linearfaktoren.

Beweis

Siehe Aufgabe 19.6.

$\Box$

Wir erwähnen hier ohne Beweis den Fundamentalsatz der Algebra, der 1799 von Gauß bewiesen wurde.

Satz

Der Körper ${}\mathbb {C}$ der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen.

Endliche Untergruppen der Einheitengruppe eines Körpers

Wir wollen zeigen, dass die Einheitengruppe von ${}\mathbb {Z} /(p)$, ${}p{\text{ Primzahl}}$, zyklisch ist. Dafür brauchen wir neben den Aussagen der letzten Vorlesung über die Nullstellen von Polynomen noch einige gruppentheoretische Vorbereitungen.

Lemma

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und ${}x,y\in G$ Elemente der endlichen Ordnungen ${}n=\operatorname {ord} \,(x)$ und ${}m=\operatorname {ord} \,(y)$, wobei ${}n$ und ${}m$ teilerfremd seien.

Dann hat ${}xy$ die Ordnung ${}nm$.

Beweis

Sei ${}(xy)^{k}=1$. Wir haben zu zeigen, dass ${}k$ ein Vielfaches von ${}nm$ ist. Es ist

${}1={\left(x^{k}y^{k}\right)}^{n}=x^{kn}y^{kn}=y^{kn}\,,$

da ja ${}n$ die Ordnung von ${}x$ ist. Aus dieser Gleichung erhält man, dass ${}kn$ ein Vielfaches der Ordnung von ${}y$, also von ${}m$ sein muss. Da ${}n$ und ${}m$ teilerfremd sind, folgt aus Satz 17.14, dass ${}k$ ein Vielfaches von ${}m$ ist. Ebenso ergibt sich, dass ${}k$ ein Vielfaches von ${}n$ ist, so dass ${}k$, wieder aufgrund der Teilerfremdheit, ein Vielfaches von ${}nm$ sein muss.

$\Box$

Definition

Der Exponent ${}\exp {\left(G\right)}$ einer endlichen Gruppe ${}G$ ist die kleinste positive Zahl ${}n$ mit der Eigenschaft, dass ${}x^{n}=1$ für alle ${}x\in G$ ist.

Lemma

Es sei ${}G$ eine endliche kommutative Gruppe und sei ${}\operatorname {exp} (G)=\operatorname {ord} {\left(G\right)}$, wobei ${}\operatorname {exp} (G)$ den Exponenten der Gruppe bezeichnet.

Dann ist ${}G$ zyklisch.

Beweis

Sei

${}n=\operatorname {ord} \,(G)=p_{1}^{r_{1}}\cdots p_{k}^{r_{k}}\,$

die Primfaktorzerlegung der Gruppenordnung. Der Exponent der Gruppe ist

${}\operatorname {exp} (G)=\operatorname {kgV} (\operatorname {ord} (x):\,x\in G)\,.$

Es sei ${}p_{i}$ ein Primteiler von ${}n$. Wegen

${}\operatorname {exp} (G)=\operatorname {ord} \,(G)\,$

gibt es ein Element ${}x\in G$, dessen Ordnung ein Vielfaches von ${}p_{i}^{r_{i}}$ ist. Dann gibt es auch (in der von ${}x$ erzeugten zyklischen Untergruppe) ein Element ${}x_{i}$ der Ordnung ${}p_{i}^{r_{i}}$. Dann hat das Produkt ${}x_{1}\cdots x_{k}\in G$ nach Lemma 19.4 die Ordnung ${}n$.

$\Box$

Satz

Es sei ${}U\subseteq K^{\times }$ eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers ${}K$.

Dann ist ${}U$ zyklisch.

Beweis

Sei ${}n=\operatorname {ord} {\left(U\right)}$ und ${}e=\exp {\left(U\right)}$ der Exponent dieser Gruppe. Dies bedeutet, dass alle Elemente ${}x\in U$ eine Nullstelle des Polynoms ${}X^{e}-1$ sind. Nach Korollar 18.10 ist die Anzahl der Nullstellen aber maximal gleich dem Grad, so dass ${}n=e$ folgt. Nach Lemma 19.6 ist dann ${}U$ zyklisch.

$\Box$

Satz

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist die Einheitengruppe ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$ zyklisch mit der Ordnung ${}p-1$.

Es gibt also Elemente ${}g$ mit der Eigenschaft, dass die Potenzen ${}g^{i}$, ${}i=0,1,\ldots ,p-2$, alle Einheiten durchlaufen.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Satz 19.7, da ${}\mathbb {Z} /(p)$ ein endlicher Körper ist.

$\Box$

Definition

Eine Einheit ${}u\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ heißt primitiv (oder eine primitive Einheit), wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.

Beispiel

Wir betrachten die Einheitengruppe des Restklassenkörpers ${}\mathbb {Z} /(23)$. Nach Satz 19.8 ist sie zyklisch und es gibt daher Erzeuger der Einheitengruppe, also primitive Elemente. Wie kann man diese finden? Man ist hierbei prinzipiell auf Probieren angewiesen, man kann dies allerdings deutlich vereinfachen. Man weiß, dass die Einheitengruppe ${}22$ Elemente besitzt, als Ordnung von Elementen dieser Gruppe kommen also nur ${}1,2,11$ und ${}22$ in Frage. Es gibt genau ein Element mit der Ordnung ${}1$, nämlich ${}1$, und ein Element mit der Ordnung ${}2$, nämlich ${}-1=22$. Alle anderen Elemente haben also die Ordnung ${}11$ oder ${}22$, und genau die letzteren sind primitiv. Der erste Kandidat ist ${}2$. Wir müssen also

$2^{11}\mod 23$

ausrechnen. Es ist ${}2^{5}=32=9$ und daher ist

${}2^{11}=9\cdot 9\cdot 2=12\cdot 2=24=1\,.$

Die Ordnung ist also ${}11$, und die ${}2$ ist nicht primitiv. Betrachten wir die ${}3$. Es ist ${}3^{3}=27=4$ und daher ist

${}3^{11}=4\cdot 4\cdot 4\cdot 9=18\cdot 9=162=1\,,$

also wieder nicht primitiv. Der nächste Kandidat ${}4$ muss nicht gecheckt werden, denn wegen ${}4=2^{2}$ ist sofort ${}4^{11}=2^{22}=1$ (diese Beobachtung gilt für alle Quadratzahlen, und zwar auch für diejenigen Zahlen, die nur modulo ${}23$ ein Quadrat sind). Betrachten wir also ${}5$. Es ist ${}5^{2}=2$. Damit ist

${}5^{11}=2^{5}\cdot 5=9\cdot 5=45=-1\neq 1\,.$

Daher hat ${}5$ die Ordnung ${}22$ und ist ein primitives Element.

Man kann diesen Sachverhalt auch so ausdrücken, dass die Abbildung

$\mathbb {Z} /(22)\longrightarrow {\left(\mathbb {Z} /(23)\right)}^{\times },\,k\longmapsto 5^{k},$

einen Gruppenisomorphismus definiert. Dieser übersetzt die Addition in die Multiplikation, daher spricht man von einer diskreten Exponentialfunktion und nennt die Umkehrabbildung auch einen diskreten Logarithmus. Solche Abbildungen spielen eine wichtige Rolle in der Kryptologie. Wenn man wie in diesem Beispiel einen solchen Isomorphismus gefunden hat, so kann man viele Eigenschaften der Einheitengruppe in der „einfacheren“ Gruppe entscheiden. Z.B. sind in ${}\mathbb {Z} /(22)$ alle ungeraden Elemente außer ${}11$ ein Gruppenerzeuger, daher sind in der Einheitengruppe alle Elemente der Form

$5^{u},u{\text{ ungerade}},u\neq 11,$

primitiv.

Endliche Körper

Definition

Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.

Wir erinnern kurz an die Charakteristik eines Ringes. Zu jedem kommutativen Ring gibt es den kanonischen Ringhomomorphismus ${}\varphi :\mathbb {Z} \rightarrow R$, und der Kern davon ist ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in ${}\mathbb {Z}$ und hat daher die Form ${}{\mathfrak {a}}=(n)$ mit einem eindeutig bestimmten ${}n\geq 0$. Diese Zahl nennt man die Charakteristik von ${}R$. Ist ${}R$ ein Körper, so ist dieser Kern ${}{\mathfrak {a}}=0$ oder ${}{\mathfrak {a}}=(p)$ mit einer Primzahl ${}p$. Man spricht von Charakteristik null oder von positiver Charakteristik ${}p>0$.

Wir haben bereits die endlichen Primkörper ${}\mathbb {Z} /(p)$ zu einer Primzahl ${}p$ kennengelernt. Sie besitzen ${}p$ Elemente, und ein Körper besitzt genau dann die Charakteristik ${}p$, wenn er diesen Primkörper enthält. Genau dann hat man auch eine Faktorisierung

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} /(p)\longrightarrow K,$

wobei die hintere Abbildung injektiv ist, d.h. es liegt eine

Körpererweiterung

$\mathbb {Z} /(p)\subseteq K$

vor. Für eine Körpererweiterung gilt stets folgende Beobachtung.

Lemma

Sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung.

Dann ist ${}L$ in natürlicher Weise ein ${}K$-Vektorraum.

Beweis

Die Skalarmultiplikation

$K\times L\longrightarrow L,\,(\lambda ,x)\longmapsto \lambda x,$

wird einfach durch die Multiplikation in ${}L$ gegeben. Die Vektorraumaxiome folgen dann direkt aus den Körperaxiomen.

$\Box$

Über die Anzahl der Elemente in einem Körper gilt folgende wichtige Bedingung.

Lemma

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper.

Dann besitzt ${}K$ genau ${}p^{n}$ Elemente, wobei ${}p$ eine Primzahl ist und ${}n\geq 1$.

Beweis

Der endliche Körper kann nicht die Charakteristik ${}0$ besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach Lemma 13.9 nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit ${}p$ bezeichnet. Das bedeutet, dass ${}K$ den Körper ${}\mathbb {Z} /(p)$ enthält. Damit ist aber ${}K$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {Z} /(p)$, und zwar, da ${}K$ endlich ist, von endlicher Dimension. Es sei ${}n$ die Dimension, ${}n\geq 1$. Dann hat man eine ${}\mathbb {Z} /(p)$-Vektorraumisomorphie

${}K\cong (\mathbb {Z} /(p))^{n}\,$

und somit besitzt ${}K$ gerade ${}p^{n}$ Elemente.

$\Box$

Die vorstehende Aussage gilt allgemeiner für endliche Ringe, die einen Körper enthalten. Es sei schon jetzt erwähnt, dass es zu jeder Potenz ${}p^{n}$ bis auf Isomorphie genau einen Körper mit ${}p^{n}$ Elementen gibt. Dies werden wir in zwei Wochen beweisen. Für einige Beispiele siehe auch die Aufgaben.

Beispiel

Wir konstruieren einen Körper mit ${}23^{2}=529$ Elementen und knüpfen dabei an Beispiel 19.10 an. Da die ${}5\in \mathbb {Z} /(23)$ primitiv ist, folgt, dass das Polynom ${}X^{2}-5\in \mathbb {Z} /(23)[X]$ irreduzibel ist. Andernfalls müsste es eine Nullstelle haben und dann wäre ${}5=a^{2}$ ein Quadrat mit ${}a\in \mathbb {Z} /(23)$. Doch dann wäre ${}5^{11}=a^{22}=1$, was nicht der Fall ist.

Es folgt nach Satz 18.5, dass

${}K=\mathbb {Z} /(23)[X]/(X^{2}-5)\,$

ein Körper ist. Dieser hat ${}23^{2}$ Elemente, da man jede Restklasse auf genau eine Weise als ${}ax+b$ mit ${}a,b\in \mathbb {Z} /(23)$ schreiben kann (${}x$ bezeichne die Restklasse von ${}X$). Dieser Körper enthält ${}\mathbb {Z} /(23)$, und die Ordnungen dieser Elemente ändern sich nicht (und sie sind insbesondere nicht primitiv im größeren Körper).

Wir möchten eine primitive Einheit in diesem Körper finden und orientieren uns an Lemma 19.4. Die Ordnung von ${}K^{\times }$ ist ${}528=16\cdot 3\cdot 11$. Wir müssen für jede dieser Primzahlpotenzen ein Element mit dieser Ordnung finden. Die ${}2$ hat die Ordnung ${}11$. Das Element ${}11-x$ hat die Ordnung ${}3$, es ist nämlich

${}(11-x)^{3}=121\cdot 11-3\cdot 121x+33x^{2}-x^{3}=66-3\cdot 6x+50-5x=116-23x=1\,.$

Um ein Element der Ordnung ${}16$ zu finden, ziehen wir sukzessive Quadratwurzeln aus ${}-1$. Es ist

${}(3x)^{2}=9x^{2}=45=-1\,.$

Eine Quadratwurzel aus ${}3x$ ist ${}14+19x$, wegen

${}(14+19x)^{2}=196+361\cdot 5+2\cdot 14\cdot 19x=12+16\cdot 5+5\cdot 19x=3x\,.$

Um eine Quadratwurzel für ${}14+19x$ zu finden, setzen wir ${}(a+bx)^{2}=14+19x$ an, was zum Gleichungssystem ${}a^{2}+5b^{2}=14$ und ${}2ab=19$ über ${}\mathbb {Z} /(23)$ führt. Es ist dann

${}a=21\cdot b^{-1}\,,$

was zu ${}4b^{-2}+5b^{2}=14$ bzw. zur biquadratischen Gleichung

${}5b^{4}+9b^{2}+4=0\,$

führt. Normieren ergibt ${}b^{4}+11b^{2}+10=0$. Quadratisches Ergänzen führt zu

${}(b^{2}+17)^{2}=17^{2}-10=49\,.$

Daher ist ${}b^{2}=13$ und somit ${}b=6$ und ${}a=15$, also ist ${}15+6x$ ein Element der Ordnung ${}16$. Damit ist insgesamt

${}2(11-x)(15+6x)=2(165-30+51x)=2(20+5x)=17+10x\,$

eine primitive Einheit nach Lemma 19.4.

Satz

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper.

Dann ist das Produkt aller von ${}0$ verschiedener Elemente aus ${}K$ gleich ${}-1$.

Beweis

Die Gleichung ${}x^{2}=1$ hat in einem Körper nur die Lösungen ${}1$ und ${}-1$, die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für ${}x\neq 1,-1$ immer ${}x\neq x^{-1}$ ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als

$1(-1)x_{1}x_{1}^{-1}\cdots x_{k}x_{k}^{-1}$

schreiben. Ist ${}-1\neq 1$, so ist das Produkt ${}-1$. Ist hingegen ${}-1=1$, so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist ${}1=-1$.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

Dann ist ${}(p-1)!=-1\!\!\!\mod p$.

Beweis

Dies folgt unmittelbar aus Satz 19.15, da ja die Fakultät durch alle Zahlen zwischen ${}1$ und ${}p-1$ läuft, also durch alle Einheiten im Restklassenkörper ${}\mathbb {Z} /(p)$.

$\Box$

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