Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Arbeitsblatt 19

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern , , , und .


Aufgabe

Es seien positive natürliche Zahlen und es sei

die Produktgruppe. Bestimme den Exponenten von .


Aufgabe

Konstruiere einen Körper mit Elementen.


Aufgabe

Bestimme in für jedes Element die multiplikative Ordnung. Man gebe insbesondere die primitiven Einheiten an.


Aufgabe

Es sei der Körper mit Elementen ( bezeichne die Restklasse von ). Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (3 Punkte)

Sei ein Körper. Zeige, dass die beiden folgenden Eigenschaften äquivalent sind:

  1. ist algebraisch abgeschlossen.
  2. Jedes nicht-konstante Polynom zerfällt in Linearfaktoren.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass nicht endlich sein kann.


Aufgabe (3 Punkte)

Finde primitive Einheiten in den Restklassenkörpern , und .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass für natürliche Zahlen und mit der kanonische Homomorphismus

surjektiv ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Konstruiere zu einer Primzahl einen Körper mit Elementen.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Primzahl und ein Körper mit Elementen. Welche Ringhomomorphismen zwischen und gibt es? Man betrachte beide Richtungen.


Aufgabe (4 Punkte)

Konstruiere endliche Körper mit und Elementen.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei der Körper mit Elementen ( bezeichne die Restklasse von ). Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (4 Punkte)

Finde einen Erzeuger der Einheitengruppe eines Körpers mit Elementen. Wie viele solche Erzeuger gibt es?



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