Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Arbeitsblatt 20/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die folgenden Teilmengen ${}T$ der natürlichen Zahlen arithmetisch repräsentierbar sind.

1. Eine konkrete endliche Menge ${}\{n_{1},\ldots ,n_{k}\}$.
2. Die Menge aller Vielfachen von ${}5$.
3. Die Menge der Primzahlen.
4. Die Menge der Quadratzahlen.
5. Die Menge der Zahlen, in deren Primfaktorzerlegung jeder Exponent maximal ${}1$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die folgenden Abbildungen ${}\varphi \colon \mathbb {N} ^{r}\rightarrow \mathbb {N}$ arithmetisch repräsentierbar sind.

1. Die Addition

   $\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x+y.$

2. Die Multiplikation

   $\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y.$

3. Die eingeschränkte Subtraktion

   $\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto \operatorname {max} _{}^{}{\left(x-y,0\right)},$

   die bei ${}y>x$ den Wert ${}0$ besitzt.

4. Die Restfunktion

   $\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,(n,t)\longmapsto r(n,t),$

   die den Rest (zwischen ${}0$ und ${}t-1$) bei Division von ${}n$ durch ${}t$ angibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Abbildung

$F\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$

mit

${}F(n)={\begin{cases}{\sqrt {n}}\,,{\text{ falls }}{\sqrt {n}}\in \mathbb {N} \,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

arithmetisch repräsentierbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}$

eine Abbildung und ${}\Gamma \subseteq \mathbb {N} ^{r}\times \mathbb {N} ^{s}$ der zugehörige Graph, also die Menge

${}\Gamma ={\left\{(n_{1},\ldots ,n_{r+s})\mid \varphi (n_{1},\ldots ,n_{r})=(n_{r+1},\ldots ,n_{r+s})\right\}}\,.$

Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann arithmetisch repräsentierbar ist, wenn ${}\Gamma$ (als Relation) arithmetisch repräsentierbar ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige explizit, dass die in Vorlesung 18 besprochenen Registerprogramme (also ihre zugehörigen Programmabbildungen) arithmetisch repräsentierbar sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {N} ^{r}\longrightarrow \mathbb {N} ^{s}$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann arithmetisch repräsentierbar ist, wenn sämtliche Komponentenfunktionen ${}\varphi _{i}$, ${}1\leq i\leq s$, arithmetisch repräsentierbar sind.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass die ${}\beta$- Funktion arithmetisch repräsentierbar ist.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass es nur abzählbar viele arithmetisch repräsentierbare Relationen gibt.