Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2016)/Arbeitsblatt 6

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Entwerfe einen Termstammbamm für den Term

wie in Beispiel 6.7.


Aufgabe

Wir betrachten die arithmetische Grundtermmenge, die aus den Konstanten und , den Variablen , , dem einstelligen Funktionssymbol und den beiden zweistelligen Funktionssymbolen und besteht. Entscheide, ob die folgenden Wörter über diesem Termalphabet Terme sind oder nicht.

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. .

Schreibe diejenigen Wörter, die Terme sind, mit Klammern, , und .


Aufgabe *

Es seien Variablen und ein zweistelliges Funktionssymbol. Welche der folgenden Wörter sind Terme?

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. ,
  8. ,
  9. ,
  10. ,
  11. ,
  12. .


Aufgabe

Erläutere den Unterschied zwischen und in Definition 6.6.


Aufgabe

Es sei eine Variablenmenge, eine Konstantenmenge und eine Menge aus Funktionssymbolen (mit einer gewissen Stelligkeit). Es sei

das zugehörige Alphabet. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Alphabet nicht leer sei. Zeige, dass es nichtleere Wörter über gibt, die keine Terme sind.


Aufgabe

Es sei eine Grundtermmenge und ein -Term. Es sei das am weitesten links stehende Symbol von und das am weitesten rechts stehende Symbol von . Zeige die folgenden Eigenschaften.

  1. Wenn eine Variable oder eine Konstante ist, so ist .
  2. ist eine Variable oder eine Konstante.
  3. Wenn und Terme sind, so ist kein Term.


Aufgabe

Es sei eine Grundtermmenge und ein -Term. Es sei die Gesamtzahl der Variablen und Konstanten in , wobei mehrfaches Vorkommen auch mehrfach gezählt wird. Es sei die Summe über alle Stelligkeiten der in vorkommenden Funktionssymbole, wobei wiederum mehrfach auftretende Symbole auch mehrfach gezählt werden.

  1. Bestimme und im Term
    wobei einstellig, zweistellig und dreistellig sei.
  2. Es sei weder eine Variable noch eine Konstante. Zeige .
  3. Zeige, dass die Differenz beliebig groß sein kann.


Aufgabe

Diskutiere, ob es sich bei

um Terme handelt.


Aufgabe

Es sei ein zweistelliges Funktionssymbol und Variablen. Formuliere das Kommutativgesetz (für ) als eine Allaussage mit Hilfe der Identität von zwei Termen.


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine Variablenmenge. Eine Grundtermmenge sei durch als Konstantenmenge, als Variablenmenge und den beiden zweistelligen Funktionssymbolen und festgelegt. In welcher Beziehung steht die Termmenge zum Polynomring .


Aufgabe

Es sei die Termmenge zur Konstantenmenge , zur Variablenmenge , und zur zweistelligen Funktionssymbolmenge . Definiere eine natürliche Abbildung von in den Polynomring . Ist diese Abbildung injektiv? Ist sie surjektiv? Was ist das Bild?


Aufgabe

Für Punkte in der Ebene bedeute die Rechtwinkligkeit des durch gegebenen Dreiecks an der Ecke und die pythagoreische Längenbeziehung. Betrachte die beiden formalen Aussagen

und

Welche ist (sind) eine Formalisierung des Satzes von Pythagoras, welche ist (sind) wahr?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Eine Grundtermmenge sei durch die Variablenmenge , eine Konstantenmenge , die einstelligen Funktionssymbole und die zweistelligen Funktionssymbole gegeben. Entwerfe einen Termstammbaum für den Term


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein zweistelliges Funktionssymbol und Variablen. Formuliere das Assoziativgesetz (für ) als eine Allaussage mit Hilfe der Identität von zwei Termen.


Aufgabe (3 Punkte)

Eine Grundtermmenge sei durch eine einelementige Konstantenmenge , eine leere Variablenmenge und eine einelementige einstellige Funktionssymbolmenge

gegeben. Zeige durch Induktion, dass es eine bijektive Abbildung

mit und für alle gibt.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass es kein gleichseitiges Dreieck im gibt, dessen sämtliche Ecken rationale Koordinaten besitzen.

Tipp: Verwende, dass irrational ist und den Satz des Pythagoras.


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